2022学年下学期华附、省实、广雅、深中高二四校联考
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答
题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
2,选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其它答案：不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的
1.已知i为虚数单位，2=1+i,则z2-团=
A.0
B.2-2i
C.2i-2
D.2i+2
2.已知集合M={x0A.[-1,]
B.(-1,1]
C.(0,]
D.[0,]
3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若4=3，且S8=a。,则a9=
A.-15
B.-18
C.-21
D.-22
4.己知向量a,6满足a6=-2,且6=（山，3），记c为a在方向上的投影向量，则5-=
A.4
B.3
C.2
D.1
5.小明将一颗质地均匀的骰子抛掷三次，观察向上一面的点数，己知三次点数都不相同，则三次点数之和
不大于8的概率为
A品
1
B.
20
c
D.月
6已知双商线C:号卡=1o>06>0)的左，右然点分别为6月，0为坐标原点，过作C的一条箱
近线的垂线，垂足为D,且DF=2W2OD，则C的离心率为
A.2
B.2
C.5
D.5
数学试题第1页（共4页）
7.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x-1)关于点L,0)中心对称，fx+1)是偶函数，
且（引1则
下列说法正确的是
A.f(x)为偶函数B.f(x)周期为2
C.f
D.f(x-2)是奇函数
8.已知实数x,y满足e=ylnx+ylny,则满足条件的y的最小值为
A.1
B.√e
C.e
D.e2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知x>y>0,且x+y>1,则
A.x2>y2
B.x2-x2
D.Inx+Iny>0
10.在平面直角坐标系x0中，点PL,0)绕点0逆时针旋转a后到达点Q(,),若cosa-V5si血a=-
13
则x,可以取
B.73
C.-155
D.23
26
26
26
11.已知点P是圆C:x2+y2=8上的动点，直线x+y=4与x轴和y轴分别交于A,B两点，若△PAB为直角
三角形，则点P的坐标可以是
A.（-2,-2)
B.（-2,2)
C.（1+3,1-3)D.(1-3,1+V3)
12.如图，已知圆柱母线长为4，底面圆半径为25，梯形ABCD内接于下底面圆，CD是直径，AB/CD,
AB=6,过点A,B,C,D向上底面作垂线，垂足分别为4，B,C,D,点M,N分别是线段CC,AA上的
动点，点Q为上底面圆内（含边界）任意一点，则
B
A
A.若平面DMN交线段BB,于点R,则NR∥DM
C
D
B.若平面DMN过点B,,则直线MN过定点
C.△AB2的周长为定值
Bi
D.当点Q在上底面圆周上运动时，记直线OA,QB与下底面所成角
D
分别为a以则。心万的取值范用是[】
1
第二部分非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.”x<-1"是"x2>1"的
条件.（选填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充
分也不必要”)
数学试题第2页（共4页)2022 学年下学期华附、省实、广雅、深中高二四校联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A B D C D C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11 12
答案 AC AD BCD ABD
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 充分不必要条件 14. 9 15． 20 16． 79
四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
解：（1）证明：连接 AC ，因为PA PD，F 为 AD的中点，所以PE AD．
因为平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD ，
所以PF 平面 ABCD， ………………………………………….2
因为BD 平面 ABCD，所以PF BD． ……………………………………………….3
因为底面 ABCD为菱形，所以BD AC ． ……………………………………4
因为E 为CD的中点，F 为 AD的中点，所以EF∥AC ，所以BD EF ．
因为PF 平面PEF ，EF 平面PEF ，且PF EF F ，所以BD 平面PEF ． …………………6
（2）由（1）可知PF 为四棱锥 P ABCD的高．因为PA PD 4， AD AB 4，PF AD ，
所以 PF 42 22 2 3 ， …………………………………….7
1
因为底面 ABCD为菱形，AB 4 ， BAD 60 ，S BCE 2 2 3 2 3 ， ………………….9
2
1 1
所以VB PCE VP BCE PF S BCE 2 3 2 3 4． ……………………………….10
3 3
数学参考答案 第 1 页（共 6 页）
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18. （12 分）
解：（1） f (x) sin 2x 3 cos2x 2sin(2x ) ………………………………….1∴
3
2
函数的最小正周期为T …………………………….2
2
由 2k 2x 2k , 得
2 3 2
5
k x k ,
12 12
5
即函数 f (x) 的单调递增区间为[k ,k ] , k Z …………………………….5
12 12
（2）∵ f (A) 2sin(2A ) 3
3
3
sin(2A ) ，
3 2
因为 0 A
2
2
所以 2A
3 3 3
所以 2A
3 3
∴ A ， …………………………….8
3
又 a 2 ,由余弦定理可得
b2 c2 a2 2bccos A bc,
2
即 b c 2bc 4 bc ，则
2 2
2 3 (b c ) (b c)
b c 3bc 4 4,则 4,
4 4
b c 4 ……………………………….11
a b c 4
所以周长最大值为 6. …………………………….12
19.（12 分）
*
解：（1）因为 Sn 2an 1 n N ，
所以当n 1时，a1 S1 2a1 1，解得a1 1. …………………………………1
当 n 2时，an Sn Sn 1 2an 1 (2an 1 1) 2an 2an 1，则an 2an 1， ……………………………4
所以数列{an}是等比数列，首项为 1，公比为 2 的等比数列
a qn 1 n 1所以 1 2 . …………………………………6
数学参考答案 第 2 页（共 6 页）
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a C0 1 2 3（2）因为 a C a C a C .. a C
n
1 n 2 n 3 n 4 n n 1 n
a C0＝ 1 n +C1 1n q C2 2 3 3 n nn q +Cn q .. Cn q
n
a 1 q 3n . ……………………………9 1
所以原不等式化为3n 2023
x
因为函数 y 3 在 R 上单调递增，又36 729,37 2187
*
所以原不等式的解为 n 1 n 6,n N . ………………………………12
20. (12 分)
解：（1）
由题知，丁队进入复赛，记为事件 ，需参加两场比赛，第一场战胜丙队，记为事件 1，第二场战胜甲
乙比赛中的败者，记为事件 2，甲队战胜乙队记为事件 ， ………………………..1
则根据题意有： P(A1) 0.6，且有
P(A2 ) P(B)P(A2 | B) P(B)P(A2 | B)
0.6*0.5 0.4*0.4
0.46 ……………………………………………………………………..4
则 P(A) P(A )P(A ) 0.6*0.46 0.276 … ……………………………………………….5 1 2
(2).由题意有：
X 0,1,2,3 …………………………………………………..6
1 8
P(X 0) C0 *(1 )3 ……………………………………..………..73
3 27
P(X 1) C1
1 1 8
3 *( )
1 *(1 )3 ………………………………..……………..…8
3 3 27
1 1 16
P(X 2) C2 *( )2 *(1 )3 …………………………………………………..94
3 3 81
17
P(X 3) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 2) …………………………………………….…...10
81
107
E(X ) P(X 1) 2* P(X 2) 3* P(X 3) ………………………………..………..12
81
21.（12分）
p
解：（1）设直线 AB 的方程为 y 5x ，则：
2
p
2 p
设点O到直线 AB 的距离为 d ，则 d . ………………………………..………..1
1 5 2 6
联立直线 AB 与抛物线C 得：
数学参考答案 第 3 页（共 6 页）
{#{QQABAYyAogigQBIAAQBCAwmyCgGQkgECAAgOQAAQIEAAiQFABCA=}#}
p
y 5x
x2 2 2 5px p
2 0，显然 0
2
x 2py
设 A x 21, y1 , B x2 , y2 ，则 x1 x ， 2 2 5p, x1 x2 p
则弦长
2
AB 1 25 x1 x2 6 x1 x2 4x1x2 6 20p2 4p2 12p . ……………..………..3
1 1 p 6p2
S AOB AB d 12p 2 6 ，
2 2 2 6 2
又 p 0, p 2 .
C : x2 4y . …………………..………5
（2）由题意得 l1 : y k1x 2， l2 : y k2x 2，设 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ,联立 l1和C 的方程可得：
y k1x 2 2
x 4k1x 8 0, x1 x2 4k1, x x 8 ………………………..………..6 2 1 2
x 4y
则 EP 1 k 21 x1 ，EQ 1 k
2 x ，故 EP EQ 1 k 2 xx1 2 1 1 2 。 …………….……………..………8
同理可设 R x3 , y3 ,S x4 , y4 则 x3 x4 4k2 , x3 x4 8，
且有 ER ES 1 k 22 x3x4 ， …..……………..………9
由 EP EQ ER ES 有：
1 k 21 x1x 22 1 k2 x x k 2 23 4 1 k2
k1 k2 , k1 k 0 …………………………..……………11 2
故存在 1，使得 k k 为定值。 ………………..…………………..………12 1 2
22.（12 分）
x 1
解：（1）当m 0时，f x πcosπx 3 3ln x 1 ， …………………………………1
x 1
所以 f 0 π 3，又因为 f 0 0， ……………………………………2
所以 f x 在 x 0 处的切线方程为 y π 3 x . ……………………………………3
（2）考虑函数 g x sin πx 3 x 1 ln x 1 ，
依题意得 g x m在 0,1 上存在两个零点 x1, x2 .
数学参考答案 第 4 页（共 6 页）
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x 1 6
而 g x πcosπx 3 3ln x 1 πcosπx 3 3ln x 1 ,
x 1 x 1
令 g x G x ，则
6 3 3x 9
G x π2 sin πx π2 sin πx 2 2 . …………………4
x 1 x 1 x 1
因为对任意的 x 0,1 ， sin πx 0 ，
所以G x 0, x 0,1 ，所以 g x G x 在 0,1 上单调递减.
而 g 0 π 3 0 ， g 1 π 3ln 2 0 ，
由零点存在性定理，存在 x 0 0,1 ，使得 g x0 0 . …………………………………5
于是 g x 0, x 0, x 0 ， g x 0, x x0 ,1 ，
因此 g x 在 0, x0 上单调递增，在 x0 ,1 上单调递减，
在 x x0 取到极大值 g x0 sin πx0 3 x0 1 ln x0 1 0.
又因为 g 0 g 1 0 ，由零点存在性定理和 g x 的单调性，
当且仅当 0 m sin πx0 3 x0 1 ln x0 1 时， g x m在 0, x0 上和 x0 ,1 上各恰有一个零点，即为
x1, x2 . 不妨设 x1 x2 . …………………………………6
由(1)可得， g x 在 x 0 处的切线方程为 y π 3 x .
令 h x g x π 3 x，则 h x g x π 3 G x π 3 ，
令 H x h x ，则H x G x 0，所以 h x H x 在 0,1 单调递减.
而 h 0 g 0 π 3 0 ，所以 h x 0, x 0,1 ，所以 h x 在 0,1 单调递减，
又因为 h 0 g 0 0 ，所以 h x 0, x 0,1 .
即当 x 0,1 时， g x π 3 x . …………………………………8
同理可计算得， g x 在 x 1处的切线方程为 y π 3ln 2 1 x .
令 k x g x π 3ln 2 1 x ，则 k x g x π 3ln 2 G x π 3ln 2 ，
令 K x k x ，则 K x G x 0，所以 k x K x 在 0,1 单调递减.
数学参考答案 第 5 页（共 6 页）
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而 k 1 g 1 + π 3ln 2 0，所以 k x 0, x 0,1 ，所以 k x 在 0,1 单调递增，
又因为 k 1 g 1 0，所以 k x 0, x 0,1 .
即当 x 0,1 时， g x π 3ln 2 1 x . …………………………………11
m m
考虑 π 3 x m和 π 3ln 2 1 x m的零点，分别为 x3 和 x4 1 .
π 3 π 3ln 2
因为 π 3 x3 m g x1 π 3 x1，所以 x3 x1，
因为 π 3ln 2 1 x4 m g x2 π 3ln 2 1 x2 ，所以 x4 x2 .
m m 2m
于是 x3 x1 x2 x4 ，所以 x1 x2 x4 x3 =1 1 .………………………………12
π 3ln 2 π 3 π 3
数学参考答案 第 6 页（共 6 页）
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