广东省茂名市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）

2022-2023学年度茂名市普通高中高二年级教学质量监测
数学试卷
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B.2 C. D.5
3.已知是的中线，，则（ ）
A. B.
C. D.
4.现有上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为的圆台，则其体积为（ ）
A. B. C. D.
5.甲 乙 丙 丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动，现有三个社区可供选择，每名志愿者只能选择其中一个社区，每个社区至少一名志愿者，则甲不在社区的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某地区国庆七天每天的最高气温分别是（单位），则（ ）
A.该组数据的极差为4 B.该组数据的众数为20
C.该组数据的中位数为20 D.该组数据的第80百分位数为23
10.已知是定义在上的偶函数，且，当时，+1，则（ ）
A.当时，
B.的周期为4
C.
D.的图象关于对称
11.已知抛物线的焦点为，准线为为抛物线上任意一点，点为在上的射影，线段交轴于点为线段的中点，则（ ）
A.
B.直线与抛物线相切
C.点的轨迹方程为
D.可以是直角
12.已知，则（ ）
A.的极小值为
B.存在实数，使有4个不相等的实根
C.若在上恰有2个整数解，则
D.当时，函数的最小值为1
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知数列的前项和为，且，则__________.
14.圆心在直线上，且过点的圆的标准方程为__________.
15.的展开式中含的项的系数为150，则__________.
16.如图，在三棱锥中，和都是边长为2的正三角形，二面角为，当时，三棱锥的外接球表面积的范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
在中，角所对的边分别为，其面积为为边上的中线.
（1）证明：；
（2）当时，求的最小值.
18.（本小题满分12分）
已知等差数列的公差不为0，其前项和为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
2023年6月6日是第28个全国“爱眼日”，某市为了了解该市高二同学们的视力情况，对该高二学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了200名学生的体检表，得到如表所示的统计数据.
视力范围
学生人数 20 30 70 35 30 15
（1）估计全市高二学生视力的平均数和中位数（每组数据以区间的中点值为代表，结果精确到0.1；
（2）视频率为概率，从全市视力不低于4.8的学生中随机抽取3名学生，设这3名学生的视力不低于5.0的人数为，求的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，在平面四边形中，为边长为2的正三角形，，点为的中点，沿将折起得到四棱锥，且.
（1）证明：；
（2）点为线段上的动点（不含端点），当平面与平面的夹角为时，求的值.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为1.
（1）求该双曲线的方程；
（2）过点的动直线与双曲线的右支交于两点，轴上是否存在一个异于点的定点，使得成立.若存在，请写出点的坐标，若不存在请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明：.
2022—2023学年度茂名市普通高中高二年级教学质量监测
数学参考答案及解析
一 选择题
1.C 【解析】，
，所以阴影部分表示的集合为.故选C.
2.A 【解析】复数，则，所以.故选A.
3.D 【解析】.故选D.
4.B 【解析】由，求得，根据圆台体积公式得.故选B.
5.C 【解析】4名志愿者分配到3个社区的方法共有种，其中甲不在社区的方法有种，故甲不在社区的概率为.故选C.
6.D 【解析】
.故选D.
7.A 【解析】，
.故选A.
8.A 【解析】由，可得，
设，则，又点，
，
.故选A.
二 多选题
9.AD 【解析】该组数据的极差为：，故正确；
将该组数据从小到大的排列为：
众数为20，22，故B错误；中位数为22，故C错误；由该组数据的第80百分位数为从小到大的排列的第6个数据为23，故D正确.故选AD.
10.AB 【解析】设，则，
，故A正确；由得，
的周期为4，故B正确；，
故C错误；，故D错误.故选AB.
11.ABC 【解析】选项，设准线与轴交于点，由抛物线知原点为的中点，轴，
所以为线段的中点，由抛物线的定义知，所以，故正确；B选项，
由题意知，为线段的中点，从而设，则，直线的方程：，与抛物线方程联立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直线与抛物线相切，故B正确；C选项，设点，则点，而是抛物线上任意一点，于是得，即，所以点的轨迹方程为，故C正确；D选项，因点的轨迹方程为，则设，令，有，，于是得为锐角，故错误.故选ABC.
12.ACD 【解析】当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，的极小值为；同理可得，当时，在上单调递增；在上单调递减，的极大值为的图象大致如图所示，由图可知正确；
令，则有两个实根，且，则令，
，所以无解，故B错误；由，
得，故C正确；，则，由，知，设，则在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，所以当时，单调递减；当时，单调递增，，故D正确.故选ACD.
三 填空题
13. 【解析】因为，所以当时，，两式相减得，整理得，即时，，又当时，，解得，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.故答案为.
14. 【解析】线段的垂直平分线的方程为：，联立，解得，即圆心坐标为，半径，所求圆的标准方程为：.故答案为.
15.-6 【解析】展开式的通项为：展开式中的系数为.故答案为-6.
16. 【解析】如图，取的中点，连接，则，所以为二面角的平面角，所以，设的外心分别为，在平面内过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，则为外接球的球心，求得，，
，表面积.故答案为.
四 解答题
17.解：（1）方法一：为边上中线，
，
在中，由余弦定理得：，
，
，
.
方法二：为边上中线，
在中，0，
在和中，由余弦定理得：
即，
，
即.
（2），
，
在中，由余弦定理得：
，
由（1）知：，
，
当且仅当时，取得最小值为2.
18.解：（1）设数列的公差为，且，依题意得：
，
，
解得，
.
（2）
，
，
或.
19.解：（1）设平均数为，则
，
设中位数为，则，
，
，
估计全市高二学生视力的平均数为4.6，中位数为4.5
（2）在视力不低于4.8的学生中，视力不低于5.0的
学生所占的比例为，
，
，
，
，
，
则的分布列如图所示
0 1 2 3
20.解：（1）为边长为2的正三角形，点为
中点，连接交于点，
，
，
，
又平面，
平面，
平面，
在底面中，，
求得：，
平面，
平面，
平面，
（2）由（1）可知，两两垂直，所以以为原点，分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
易得为平面的一个法向量，
设，
，
设平面的一个法向量为，则
，
取，则，
平面与平面的夹角为
，
，解得，
当平面与平面的夹角为时，.
21.解：（1）双曲线的渐近线为，点到渐近线的距离为1，
，解得，
双曲线的方程为.
（2）假设存在定点满足已知条件，故设，
，
，
在和中，由正弦定理得
，及，
，及，
，
又，
，
直线与直线的倾斜角互补，，
当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线的
斜率不为0时，设直线的方程为，
，
联立，得，
所以，
又因为直线与双曲线的右支交于两点，
，即，
解得，
，
又，
，即，
，
即，
解得，
存在定点，使得 成立.
22.解：（1）当时，，
，
，又，
在点处的切线方程为：.
（2）①，
令，则在上单调递增，
由，得，
有两个实根，
，
令，
，
当时，时，
，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又当时，；当时，
，
，
②由①可知，
，
，
不妨设，令，则，
，
，
令，
，
在单调递增，，
，
.