新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市名校2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

乌鲁木齐市名校2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数 学 试 卷
总分150分 考试时间120分钟 （范围：选择性必修三）
一、单选题（共15小题每题4分共60分）
1．针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数的，女生中喜欢航天的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为（ ）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．25 B．45 C．60 D．75
2．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
3．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：
甲得分：
X1 1 2 3
P 0.4 0.1 0.5
乙得分：
X2 1 2 3
P 0.1 0.6 0.3
则甲、乙两人的射击技术相比（ ）A．甲更好
B．乙更好
C．甲、乙一样好
D．不可比较
4．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有（ ）．
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
5．对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
①模型Ⅰ的相关系数为； ②模型Ⅱ的相关系数为；
③模型Ⅲ的相关系数为； ④模型Ⅳ的相关系数为；
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
6．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
7．设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ）
A．7 B．10 C． D．
8．若随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．有8位学生春游，其中小学生2名 初中生3名 高中生3名.现将他们排成一列，要求2名小学生相邻 3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．72种 D．36种
10．1654年，法国贵族德 梅雷骑士偶遇数学家布莱兹 帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（　　）
A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板
11．已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为且，去除两个歧义点和后，得到新的回归直线的斜率为3，则下列说法不正确的是（　　）
A．相关变量x、y具有正相关关系
B．去除歧义点后的回归直线方程为
C．去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变小
D．去除歧义点后，样本的离差为0.1
12．一袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．
1 2 3
B．
1 2 3 4
C．
1 2 3
D．
1 2 3
13．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
14．太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲 乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从C D E F，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
15．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
二、填空题（共20分）
16．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.
17．已知，若，则______.
18．将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是__________.
19．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于8”为事件B，则___________.
20．2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：
A区 B区 C区 D区 E区
外来务工人员数 5000 4000 3500 3000 2500
留在当地的人数占比 80% 90% 80% 80% 84%
根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的线性回归方程为.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为___________万元.(参考数据：取)
三、解答题（共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）
21．（1）证明：；
（2）计算：.
22．自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．哈九中某研究型学习小组为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从哈尔滨市市民中随机抽取200名进行调查，得到部分统计数据如下表：
手机支付 现金支付 合计
60岁以下 80 20 100
60岁以上 65 35 100
合计 145 55 200
(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从哈市60岁以下市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“手机支付”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，数学期望和方差．
参考公式：，其中
0.10 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
23．关于与有以下数据：
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
有如有两个线性模型：（1）；（2），试比较哪一个拟合效果比较好.
附：决定系数.
24．垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化 减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得，，，，.
（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；
（2）求关于的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
25．随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 50 100 250 60 40
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取6个，求恰好有3个水果是二等级别的概率．
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这500个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
高二数学 期末考试 答案解析
1．A
【分析】设男生的人数为（），即可得到列联表，计算出卡方，从而得到不等式，解得即可；
【解析】解：设男生的人数为（），根据题意列出列联表如下所示：
单位：人
喜爱度 性别 合计
男生 女生
喜欢航天 4n 3n 7n
不喜欢航天 n 2n 3n
合计 5n 5n 10n
则，
∵依据的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，∴，
即，解得，∴，又，
∴结合选项知B，C，D正确．
故选：A．
2．C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
3．B
【分析】分别求两个随机变量的数学期望，再比较.
【解析】因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好.
故选：B
4．C
【分析】利用二项分布定理数学期望计算方法，，即可．
【解析】5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，
则他们投中的均值分别为，，，，．
故晋级下一轮的大约有3人．
故选：C.
5．D
【分析】根据相关系数的大小对相关关系强弱的判定，即可解出．
【解析】因为越趋近于，相关性越强，模型拟合效果越好，
所以拟合效果最好的模型是Ⅳ．
故选：D．
6．D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【解析】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
7．B
【分析】根据所给的两个集合的元素，写出两个集合的交集和并集，根据新定义的集合规则，得到和分别有种和种情况，最后由分步计数原理得到结果.
【解析】由题意得，，，
则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个，
故选：B.
8．A
【分析】根据二项分布列式，计算出，然后利用正态分布的特点计算的值.
【解析】由题意，，解得，则，所以.
故选：A.
9．B
【分析】利用捆绑法和插空法可求得结果.
【解析】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法.
根据分步计数原理，共有种不同排法.
故选：B
10．B
【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.
【解析】由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，
先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：
，，
，，
显然有，即，
所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
故选：B
11．C
【分析】由回归直线的正负相关、回归直线过样本中心点及离差的计算依次判断即可.
【解析】对于A，由回归直线的斜率大于0，可知相关变量x、y具有正相关关系，正确；
对于B，由题意知，去除两个歧义点和后，由
可得新的样本中心点为，又新的回归直线的斜率为3，可得，则回归直线方程为，正确；
对于C，又斜率增加，可得去除歧义点后，随x值增加相关变量y值增加速度变大，错误；
对于D，由回归直线方程，令，可得，则离差为，正确.
故选：C.
12．C
【分析】先求出随机变量ξ的可能取值，再计算相应的概率，从而得出分布列.
【解析】随机变量ξ的可能取值为1，2，3
故选：C.
13．B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【解析】 ，
故选：B
14．D
【分析】由独立乘法公式、互斥事件加法公式求、，再利用条件概率公式求即可.
【解析】由题设，甲乙选景点C的概率为，选其它景点的概率为，
则，，
所以.
故选：D
15．C
【分析】根据分类加法计数原理即可求解.
【解析】分3类，买1本书，买2本书，买3本书，
各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7(种).
故选：C
16．
【分析】根据题意答对的题目数满足二项分布，再根据二项分布概率公式计算即可得答案.
【解析】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布，
所以
故答案为：
17．
【分析】由条件等式取可求，再结合二项式展开式通项公式求.
【解析】由，
取可得，又，
∴ ，
∵，
的展开式的通项公式为，
∴ ，
故答案为：-5.
18．①③④
【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【解析】当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故答案为：①③④.
19．
【分析】先利用古典概型求得，，再代入条件概率公式求解.
【解析】满足事件的情况有红骰子向上的点数为1，2，3，
所以 ，
同时满足事件和事件的情况有红骰子向上的点数为2，3，蓝骰子对应点数为6，5，所以，
所以.
故答案为：
20．
【分析】求出，利用中心点求得，然后令代入可得估计值，求得留在当地过年的人员数可得补贴总额．
【解析】由已知，
，
所以，则，即，
时，，
估计应补贴（万元）．
故答案为：．
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）把组合数用阶乘表示后可证；
（2）由（1）把式子中每一项变形后利用二项式定理可得．
【解析】（1）.
（2）
.
22．(1)有的把握认为支付方式的选择与年龄有关
(2)
分布列见解析，，
【分析】（1）利用公式求出卡方，通过与3.841比较大小得到结论；（2）计算出的可能取值与相应的概率，进而求出分布列，利用二项分布数学期望和方差的公式进行求解.
（1）
根据题意可得:的观测值，所以有的把握认为支付方式的选择与年龄有关．
（2）
由题意可知：在60岁以下的市民中抽到1人选择“手机支付”的概率为，所以，的所有可能取值为0，1，2，3．
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
，．
23．方程（1）的拟合效果比较好
【分析】根据题意得出与的关系，求出决定系数比较即可判断.
【解析】由表格得，由（1）得与的关系如表所示.
－0.5 －3.5 10 －6.5 0.5
－20 －10 10 0 20
所以.
.
所以.
由（2）得与的关系如表所示.
－1 －5 8 －9 －3
－20 －10 10 0 20
所以.
.
所以.
由，知，所以方程（1）的拟合效果比较好.
24．（1）答案见解析；（2）252.5吨.
【分析】（1）利用相关系数，代入数据求出，相关系数绝对值越大，相关性越强即可判断.
（2）由，，代入系数即可求出回归直线方程，再将代入即可求解.
【解析】（1）由题意知，相关系数.
因为与的相关系数接近1，
所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.
（2）由题意可得，，
，
所以.
当时，，
所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨.
25．（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．
【分析】（1）先求出抽到二等级别水果的频率，从而可得抽到二等级别水果的概率为，所以随机抽取6个，若设抽到二等级别水果的个数为，则，然后利用二项分布的概率公式求解即可，
（2）利用分层抽样可得抽取的10个中其中优级水果有3个，非优级水果有7个，则可得优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3，利用超几何分布的概率公式求各自对应的概率，从而可求得的分布列及数学期望
【解析】解：（1）设从500个水果中随机抽取一个，抽到二等级别水果的事件为，
则，
随机抽取6个，设抽到二等级别水果的个数为，则，
所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为．
（2）用分层抽样的方法从500个水果中抽取10个，
则其中优级水果有3个，非优级水果有7个．
现从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为0，1，2，3．
则，，
，．
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以．