山西省长治市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）

2022~2023学年高二下学期期末联合考试
数学
1.注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量.若，则（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在四棱台中，正方形和的中心分别为和平面，则直线与直线所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点，动点到直线的距离为，则的周长为（ ）
A.4 B.6 C. D.
8.已知直线与函数的图象相切，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设数列都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）
A. B.
C. D.
10.某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（ ）
A.该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占
B.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多
C.该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内
D.相比于2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加
11.已知双曲线的左 右焦点分别为，过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
12.如图1，《卢卡 帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若，则（ ）
A.
B.该水晶多面体外接球的表面积为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.点到平面的距离为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数则__________.
14.已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为__________.
15.已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则__________.
16.五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，角的对边分别为，已知，且.
（1）求；
（2）求的面积.
18.（12分）
在数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，满足（为正整数）的项有项，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，将三棱锥的侧棱放到平面内，，平面平面.
（1）证明：平面平面.
（2）若，平面与平面夹角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
猜歌名游戏的规则是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立.
（1）求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率；
（2）若嘉宾猜对一首组歌曲的歌名得1分，猜对一首组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为，求的分布列与期望.
21.（12分）
已知抛物线上一点到焦点的距离为2.
（1）求和；
（2）若在抛物线上存在点，使得，设的中点为，且到抛物线的准线的距离为，求点的坐标.
22.（12分）
已知函数.
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若有两个极值点，证明：.
2023学年高二下学期期末联合考试数学
参考答案
1.B 或.
2.A .
3.C 因为，所以，解得.
4.D ，①
.②
①+②可得.
5.B 连接，作，垂足为即直线与直线所成的角.
.
6.C 因为，所以.由在上单调递增，得，即在上恒成立，从而.
7.D 设，则.因为，所以，整理可得，即点的轨迹为椭圆且方程为.由椭圆定义知的周长为.
8.B 设切点坐标为，因为，所以，则切线方程为，即，故.令，则.当时，单调递减，当时，单调递增，故，从而的最小值为.
9.BD 若数列都是等比数列，则也都是等比数列，但不一定是等比数列.
10.ABD 2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确.由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为，则仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为，B正确.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，C错误.2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，D正确.
11.AB 因为，所以.根据双曲线的对称性，不妨设直线的斜率小于零.当点在第一象限时，.由余弦定理可得，化简得，解得（舍去）.此时，双曲线的渐近线方程为.
当点在第四象限时，.由余弦定理可得，化简得，解得（舍去）.此时，双曲线的渐近线方程为.
12.BCD 该水晶多面体的俯视图如图1所示，，A错误.建立如图2所示的空间直角坐标系，则.记该水晶多面体外接球的半径为，圆心，则，故该水晶多面体外接球的表面积为，B正确.因为，所以平面平面.易得平面的一个法向量为，即为平面的一个法向量.，故直线与平面所成角的正弦值为，C正确.点到平面的距离为，D正确.
13.2 因为，所以.
14. 圆的圆心为，解得.
15.2 设，则，所以.当时，，与图象不符，故.
16. 该单位安排这3人在5天假期值班的情况有种，其中恰好连续值班2天的情况有种，故所求概率.
17.解：（1）因为，所以.
由正弦定理可得，则.
从而，即.
因为，所以.
（2）由余弦定理可得.
因为，所以.
故的面积为.
18.解：（1）因为，所以，则是等差数列.
设的公差为，由解得.
故.
（2）满足（为正整数）的项有项，所以.
.
19.（1）证明：因为平面平面，平面平面，所以平面.
又平面，所以.
因为，所以平面.
又平面，所以平面平面.
（2）解：记点在平面内的投影为，连接，取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，平面与平面夹角的正切值为，
所以，
则，
从而.
设平面的法向量为，
则令，
得.
平面的一个法向量为.
，
故平面与平面夹角的余弦值为.
20.解：（1）该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率；
该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率.
故该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率.
（2）由题意可得的所有可能取值分别是.
，
，，
.
的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
故.
21.解：（1）设抛物线的焦点为，
根据题意可知，解得.
故抛物线.
因为在抛物线上，所以.又因为，所以.
（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为.
易知一定存在，则.
由，得，即，
化简得，即.
因为到抛物线的准线的距离，
所以，
则，即.
，
即，
解得或，则或.
故点的坐标为或.
22.（1）解：因为，
所以，则，
故的图象在处的切线方程为，即
（2）证明：因为，所以.
由有两个极值点，得方程有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根
令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.当时，，当时，.
由有两个不相等的正实数根，
可得，即有两个不相等的正实数根.
由，得.
要证，需证，
需证.
不妨令，
则等价于，即
令，则，
则，从而.