江西省清江县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

江西省清江县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（▲）
A． B． C． D．
2．若，在直线上，则直线的一个方向向量为（▲）
A． B．
C． D．
3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（▲）
A． B． C． D．
4．等差数列，0，，…前10项的和为（▲）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，已知，，则（▲）
A．1 B．3 C． D．
6．函数的零点个数为（▲）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．我国新型冠状病毒感染疫情的高峰过后，关于药物浪费的问题引发了广泛的社会关注．过期药品处置不当，将会给环境造成危害．现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将可能出现产量过剩，产生药物浪费．因此从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（▲）
A．7年 B．8年 C．9年 D．10年
8．已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（▲）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（▲）
A．运动员在时的瞬时速度是
B．运动员在时的瞬时速度是
C．运动员在附近以的速度上升
D．运动员在附近以的速度下降
10．过点且与曲线相切的直线方程为（▲）
A． B．
C． D．
11．已知为各项为正数的等比数列，.记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（▲）
A．数列的公比为2
B．
C．数列为等差数列
D．数列的前项和为
12．已知函数满足，且，则（▲）
A．不可能是偶函数 B．若，则
C． D．若，则
三、填空题（共20分）
13．已知点，，则 ▲ .
14．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为 ▲ .
15．已知函数，则在上的最大值为 ▲ .
16．若数列满足，且，则数列的前2023项的积为 ▲ .
四、解答题（共70分）
17．（10分）已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
(1)求通项公式
(2)设，求数列的前项和
18．（12分）3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．高二（A）班派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲、乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，，通过第二轮比赛的概率分别是，，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
(1)若高二（A）班获得决赛资格的小组个数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)已知甲、乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，三轮后总分高的获胜．假设两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两个小组每次抢到该题的可能性分别是，，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求在第一题中乙已得10分的情况下最终甲获胜的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，分别为棱的中点，.

(1)证明：四点共面；
(2)求平面与平面的夹角的大小.
20．（12分）某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
21．（12分）已知椭圆的焦距为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．
22．（12分）已知函数，.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在满足，证明.
1．C
因为，，
结合交集的概念可得，
故选：C
2．C
依题意，直线的一个方向向量为，其他三个均不合要求.
故选：C．
3．A
联立方程组，解得，
因为直线与直线的交点在第一象限，
所以，解得，所以，即实数的取值范围是.
故选：A
4．C
由题意，，，；
故选：C.
5．A
设公比为，
依题意得，得，得，，
所以.
故选：A
6．B
定义域为R，，
又，故为奇函数，
当时，由于恒成立，故恒成立，无零点，故时，也不存在零点，
当时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也时最大值，，显然，，
故由零点存在性定理知，在上存在一零点，
结合函数为奇函数，在上存在一零点，
综上，一共有3个零点.
故选：B
7．B
第一年年产量为，以后各年年产量为，，
当时也符合上式，∴．令，
得．设，对称轴为，
则当时，单调递增，又因为，，
则最大生产期限应拟定为8年，
，
故选：B．
8．C
由的解析式，可知在上单调递增，
且值域为，在上单调递增，且值域为，
函数的图像如图所示，
所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应，
在值域上，任意函数值都有一个值与之对应.
要使恰有三个不同的零点，
则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上，
由的图像开口向上且对称轴为，易知，
此时，且，
结合的图像及，得，
则，
所以，且，
令，，则.
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，故的最大值为.
9．BD
由已知，，
的瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
10．BC
设切点为，因为，所以，故切线方程为，
又因为切线过点，所以，整理得，解得或，
当时，切线方程为，即，
当，切线方程为，即.
故选：BC.
11．ABC
设正项等比数列的公比为，由，得，解得，A正确；
于是，，显然数列是首项为，公比为4的等比数列，
则，，，B正确；
，，数列为等差数列，C正确；
显然，当时，，，D错误.
故选：ABC
12．BCD
令，则，故在上单增.
对于A，如为常函数，此时为偶函数，A错误;
对于B，若，则从而，B正确；
对于C，由可得，C正确；
对于D，若，同B选项可知，令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以（当且仅当时等号成立），
故，则，D正确.
故选：BCD.
13．
因为，，
所以.
故答案为：
14．/0.75
设购买甲书的概率为，购买乙书的概率为，
则由题意可得解得.
故答案为:.
15．
，
令，得或．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以．
故答案为：.
16．2
由已知可得：
由上可得周期为4，，可得，
故的周期也为4，数列的前4项分别为，，，，
故数列的前2023项的积为
17．(1)或
(2)或
（1）设等差数列的公差为，则，即，
又成等比数列，所以，即，
整理得，得或，
若，则，，
若，则，得，，.
综上所述：或.
（2）若，则，；
若，则，.
18．(1)分布列见解析，1
(2)
（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件，，
则，．
由题意可得，X的取值有0，1，2，
，，
.
0 1 2
所以．
（2）依题意，甲，乙抢到并答对一题的概率分别为，，
乙已得10分，甲若想获胜情况有：
①甲得20分：其概率为
②甲得10分，乙再得分，其概率为；
③甲得0分，乙再得分，其概率为．
故乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率为．
19．(1)证明见解析
(2)
（1）因为平面，平面，所以，
又底面为直角梯形，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
.
设，即，解得
所以.故四点共面.

（2）设是平面的法向量，
则，
令，得.
取的中点，则，连接，又因为，所以，
又由（1），，平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面，即平面的一个法向量为.
所以.
故平面与平面的夹角的大小为.
20．(1)
(2)这个人第三年的收入最少，为元
(3)当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入
（1）解：由题意得，当时，，
当时，，
所以
（2）解：由，当时，，
当且仅当，上式的等号成立，即，解得，
所以这个人第三年的收入最少，最小值为元．
（3）解：当时，
，
当且仅当且，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
21．(1)
(2)
（1）解：由题意可知，所以，所以①，
又，所以②，
由①②可得，，所以椭圆的方程为．
（2）解：设点、、，
联立，得，
由题知，可得③，
由韦达定理可得，
，从而，
，
，则，即④，
把④代入③得，解得，又，故的取值范围是．
22．(1)
(2)证明见解析
（1）依题意得，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）时，，，
令，得，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
，，，
因为存在满足，不妨设，
则其一个必要条件是，
由得，即，
令，，
则，两边取对数得，即，
要证，只要证，
，
故只要证，即，
设，则，
故只要证，即，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
即成立，从而原不等式得证.