湖南省多校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题（含解析）

高二数学考试
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，复数是实数，则（ ）
A． B． C．6 D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．某高校现有400名教师，他们的学历情况如图所示，由于该高校今年学生人数急剧增长，所以今年计划招聘一批新教师，其中博士生80名，硕士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后硕士生的比例下降了，招聘后全校教师举行植树活动，树苗共1500棵，若树苗均按学历的比例进行分配，则该高校本科生教师共分得树苗的棵数为（ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
5．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知正三棱柱的顶点都在球的球面上，若正三棱柱的侧面积为6，底面积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（ ）
A．32种 B．48种 C．56种 D．68种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A．圆心到直线的距离为1 B．圆心到直线的距离为2
C． D．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的极值点为
C．的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D．若，则
11．已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为1，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的最小值为
C．若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D．设的左焦点为，若的面积为，则
12．已知函数，若，，则实数的取值可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知向量，，若，则________．
14．已知，则________．
15．如图，某圆柱与圆锥共底等高，圆柱侧面的展开图恰好为正方形，则圆柱母线与圆锥母线所成角的正切值为________．
16．已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为6，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
18．（12分）
已知的内角，，的对边分别为，，．
（1）若，，，求的面积；
（2）若，证明：．
19．（12分）
某单位准备从8名报名者（其中男性5人，女性3人）中选4人参加4个副主任职位竞选．
（1）设所选4人中女性人数为，求的分布列与数学期望；
（2）若选出的4名副主任分配到，，，这4个科室上任，一个科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一个科室，求科室任职的是女性的情况下，科室任职的是男性的概率．
20．（12分）
如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为等边三角形．
（1）若，证明：．
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）
已知是椭圆：的左顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的取值范围．
22．（12分）
已知函数，且，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，函数有三个零点，，，且，试比较与2的大小，并说明理由．
高二数学考试参考答案
1．B 因为，，所以．
2．C 因为，所以，解得．
3．A ，
所以是奇函数，排除C，D．
当时，，则，，，排除B．故选A．
4．B 设招聘名硕士生，由题意可知，，
解得20，所以本科生教师共分得树苗棵．
5．B 若，则，而，所以“”推不出“”；
若，又，则，
所以，即“”可以推出“”．
6．C 因为，，，所以．
7．A 因为正三棱柱是直三棱柱，设其高为，，
则，所以．由底面积为，得，
解得，从而．
设的外接圆半径为，则，解得．
设球的半径为，则，
所以球的表面积为．
8．D ①若《周易》不排，共有种安排方式．
②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，共有种安排方式；
若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，共有种安排方式．
所以共有种安排方式．
9．BD 因为圆心到直线的距离，所以A错误，B正确．
因为，所以C错误，D正确．
10．BC 的最小正周期为，所以A错误；
由，得，所以B正确；
将的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以C正确；
若，则或，所以D错误．
11．ACD 由已知可得，，，则的方程为，离心率为，A正确；
因为的最小值为，所以B错误；
设，则，，所以C正确；
设，则的面积为，则，所以D正确．
12．BCD 由，得．
因为，所以，
即（*）．
令，则，，
所以函数在上为减函数，
在上为增函数，所以，（*）式可化为，即．
设，则，又，所以．
①当时，，则在上为增函数，所以；
②当时，在上为增函数，
令，得，
则在上为减函数，在上为增函数，
由于，在上，，不符合题意．综上，．
13． 因为，所以，解得．
14． 由，得，
所以．
15． 因为圆柱母线与圆锥旋转轴平行，所以圆柱母线与圆锥母线所成角的大小等于．因为圆柱侧面的展开图恰好为正方形，所以，所以．
16．20 由题意知，抛物线的准线方程为．
设的中点为，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
因为到轴的距离为6，所以．
由抛物线的定义知，，
所以．
因为，所以．
17．解：（1）设的公比为，因为是和的等差中项，
所以，则，解得或．
当时，．
当时，．
（2）因为，所以，．
，
则，
则．
故．
18．（1）解：因为，所以．
所以的面积．
（2）证明：因为，，
所以，化简得，
所以，
即，
所以．
因为，，所以或（舍去），
所以．
19．解：（1）依题意，的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
所以．
（2）设“科室任职的是女性”，“科室任职的是男性”，
则，，
所以．
20．（1）证明：取的中点，连接，．
因为为等边三角形，所以．
又，，
所以平面，
所以，即是线段的中垂线，
所以．
（2）解：由（1）知，又，所以，所以平面．
以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，．
在中，，，所以点的坐标为，
所以，，．
设是平面的法向量，可得令，得．
设是平面的法向量，可得令，得．
设平面与平面所成的二面角为，
则．
21．解：（1）由题可知，．
当直线的斜率不存在时，由，得，则，
故椭圆的方程为．
（2）法一：当直线的斜率不存在时，的面积．
当直线的斜率存在时，设的方程为，，．
联立方程组消去整理得，
则，．
，
点到直线的距离，
则的面积．
因为，所以，
则，．
综上所述，面积的取值范围为．
法二：依题意可设直线的方程为，，．
联立方程组消去整理得，
则，．
．
点到直线的距离，
则的面积．
因为，所以，所以．
故面积的取值范围为．
22．解：（1）由，得，又，所以，
则，所以，．
当时，在与上为增函数，在上为减函数；
当时，在与上为减函数，在上为增函数．
（2）因为，由，
得，解得或．
因为，所以，，是的正根，，
则，，，
两式相减得．
令，，得，则．
令，则，
所以，可得，
．
设，则，
再设，则，
在上为增函数，所以，
即，则在上为增函数，
从而，
所以，即，
所以，即．