湖南省邵阳市2022-2023学年高二下学期7月期末联考数学试题（含答案）

秘密★启用前
邵阳市2022-2023学年高二下学期7月期末联考
数学
本试卷共4页，22个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案写在试题卷上无效.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足：（为虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数在区间的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学 复旦大学 武汉大学 中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（ ）
A.24种 B.60种 C.96种 D.240种
6.设非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A.13 B.11 C.9 D.8
8.已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若正实数满足，则下列结论中正确的有（ ）
A.的最大值为1 B.的最大值为2
C.的最小值为2 D.的最小值为2
10.下列说法中，错误的是（ ）
A.若事件满足：，且，则与相互独立
B.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第75百分位数为8
C.若随机变量，则方差
D.在回归模型分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
11.设是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，则下列命题中正确的是（ ）
A.若直线过抛物线的焦点，则的最小值为2
B.若点的坐标为，则
C.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条
D.若（点在第一象限），则直线的倾斜角为
12.《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”.文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，在堑堵中，若.则下列说法中正确的有（ ）
A.四棱锥为阳马，三棱锥为鳖臑
B.点在线段上运动，则的最小值为
C.分别为的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为
D.点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在等比数列中，，则公比为__________.
14.已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最小值为__________.
15.某市2022年高二数学联考学生成绩，且.现从参考的学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为__________.
16.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知等差数列的公差不为，且成等比数列.
（1）求数列的前项和；
（2）记，证明：.
18.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
19.（本小题满分12分）
如图所示，在三棱台中，平面平面，.
（1）证明：；
（2）当二面角为时，求三棱台的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数在定义域内的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知是椭圆上的一点，为椭圆的左 右焦点，为其短轴的两个端点，是与的等差中项.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于点，与圆切于点，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
新宁崀山景区是世界自然遗产 国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；
（2）（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；
（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式.
邵阳市2022-2023学年高二下学期7月期末联考
答案与评分标准
数学
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.D
8.B
【详解】设，则.
在上单调递增.
又为奇函数，
.
.
故选：B.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AD 10.BC 11.ABD
12.ABC
【详解】对于选项：易知面，四边形为长方形.
四棱锥为“阳马”.
在棱锥中，为直角三角形.
三棱锥为鳖臑，故正确.
对于选项：将沿旋转与共面且位于的异侧，
如图所示.
，故B正确.
对于选项：过的截面如图所示，
易知为的重心，
.
截面周长为.故正确.
对于D选项：面，又面面.
又共面，点的轨迹为线段，且，
故D错误.故选ABC.
三 填空题：本题4小题，每小题5分，共20分.
13.3 14. 15.
16.
【详解】设双曲线的左焦点为，连，
易知四边形为矩形.
设，则
由①得：
，即.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：（1）由题知：
故.
即.
解得（舍去）或.
.
.
（2）由（1）知
故
又.
18.解：（1）方法一：
由，
得.
由正弦定理得，
即.又，
故.
解得.
方法二：
由，及正 余弦定理可得
，
整理得.
解得.
（2）由，得.
又，故，
.
由正弦定理可得.
的面积.
19.证明：（1）平面平面，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
.
（2）方法一：（坐标法）过作交于点，
易得平面，且，设.
以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，
.
设平面的一个法向量为，
又，
由则.
由（1）知平面，故平面的一个法向量.
.
.
.
方法二：（几何法）连接，如图所示.
由，
易得，且，
.
面.
又平面，
平面.
故即为二面角的平面角，即.
在Rt中，.
过作交于点，易得面且，
.
.
20.解：（1）函数的定义域为，
.
由，得.
由，得.
的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）.
设，则.
.
设，
在上单调递增.
而.
在上存在唯一零点，
且.
当时，，
在单调递减.
当时，在上单调递增.
，
，故的取值范围是.
21.解：（1）将点代入椭圆方程得①
由题意可知：②
由①②得.
椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为：，
在Rt中，.
②当直线的斜率存在时，设的方程为：.
直线与圆相切，.即.
由得，
.
从而在Rt中，.
由①②得，为定值.
22.解：（1）可能取值为.
，
，
的数学期望.
（2）（i）“总分恰为分”的概率为，
数列是以首项为，公比为的等比数列，记前项和为，
则前4项和
（iii）方法一：“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得4分，概率为，所以，
即：，
.
.
方法二：得分分可以先得（2n-2）分，再得2分，也可以先得分，再得4分，“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，则“得分的概率为”“得（2n-4）分”的概率为，所以.
由，
得，
，
.
（后面同方法一）
另解：由，
得，
，
.
又
.