浠水一中2023年高二年级下学期期末质量检测
数学试卷
考试时间：2023年6月30日 试卷满分150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．集合，，则=（ ）
A． B．
C． D．
2．已知的值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．
3．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
5．一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．0 D．5
7．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0455以下，至少要测量的次数为（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则，，
A．32 B．64 C．128 D．256
8．已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．若随机变量服从二项分布，则
B．若随机变量服从正态分布，且，则
C．已知一组数据，，，…，的方差是5，则，，，…，的方差也是5
D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
10．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
11．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
12．定义在R上的函数，的导函数为，，是偶函数.已知，，则（ ）
A．是奇函数 B．图象的对称轴是直线
C． D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知服从两点分布，且，则______．
14．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有__________种.
15．用模型拟合一组数据组，其中.设，变换后的线性回归方程为，则_________.
16．若对任意，恒有，则实数a的最小值为________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.）
17．（10分）已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
18．（12分）已知在的展开式中第5项为常数项.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有的有理项.
19．（12分）下表是某农村居民年至年家庭人均收入单位：万元．
年份
年份代码
家庭人均收入（万元）
(1)利用相关系数判断与的相关关系的强弱当时，与的相关关系较强，否则相关关系较弱，精确到；
(2)求关于的线性回归方程，并预测年该农村居民的家庭人均收入．
附：对于一组数据、、…、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，样本相关系数． 参考数据：．
20．（12分）某校高二年级为研究学生数学与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
语文成绩 合计
优秀 不优秀
数学成绩 优秀 45 35 80
不优秀 45 75 120
合计 90 110 200
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计学中称为似然比.现从该校学生中任选一人，设“选到的学生语文成绩不优秀”，“选到的学生数学成绩不优秀”，请利用样本数据，估计的值.
附：
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
21．（12分）某公司通过游戏获得积分以激励员工.游戏规则如下：甲袋和乙袋中各装有形状和大小完全相同的10个球，其中甲袋中有5个红球和5个白球，乙袋中有8个红球和2个白球，获得积分有两种方案.方案一：从甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1个球，摸出红球获得10分，摸出白球得0分；方案二：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲袋中随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙袋中随机摸出一个球，若摸出的是红球，则获得积分15分，否则得5分.
(1)某员工获得1次游戏机会，若以积分的均值为依据，请判断该员工应该选择方案一还是方案二？
(2)若某员工获得10次游戏机会，全部选择方案一，记该员工摸出红球的次数为，当取得最大值时，求的值.
22．（12分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)函数有两个不同的极值点，证明：.
试卷第4页，共5页浠水一中2023年高二年级下学期数学期末质量检测答案
B【详解】因为集合，所以，所以.
故选：B.
2．C【详解】根据导数值的定义：.故选：C
3．D【详解】解：设这个球落入④号球槽为时间，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，
所以.故选：D.
4．B【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.
5．A【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则，，
则．故选：A．
6．D【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，因为，所以，所以，所以的周期为6，所以，故选：D
7．C【详解】根据题意，，
而，则，所以.故选：C.
8．B【详解】∵，∴，令，则，即为偶函数，当时，∴，即函数在上单调递增.根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知在上单调递减，∵，∴，∴，即，解得，，
故选：B.
9．ABC【详解】对于A，由于，则，故A正确；
对于B，因为，所以，故，故B正确；
对于C，因为的方差与的方差相同，故C正确；
对于D，根据回归方程必过样本中心点，可得，解得，故D错误.
故选：ABC.
10．ABD【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确.故选：ABD
11．ACD【详解】因为，又展开式的通项为（且），所以，，
，，，，故A正确；所以，故B错误；所以，故C正确；所以，故D正确；故选：ACD
12．ABC【详解】,，，又
为奇函数，故A正确.是偶函数，， 则
又，则，所以，则
则，，故的图象关于对称，故B正确.
因为，所以，令得，，又，令，得= ，故C正确. ，，又，是奇函数，
，是奇函数，则，，则，，故，D错误.故选：ABC.
13．0.7【详解】解：因为服从两点分布，所以．故答案为：0.7
14．450【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案；方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有（种）不同的方案.所以共有不同的安排方案.故答案为：450.
15．【详解】因为线性回归方程为恒过，因为，所以，，即，所以，即.故答案为：
16． 【详解】由，
令，则，由得，由得，所以在上递减，在上递增，所以，所以在单调递增．则，令，，由，得，由，得，所以在上递增，在上递减，故，故，故答案为：
17．【详解】（1）∵定义域为，且，令或，令；∴函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）由（1）可知：当时，取得极大值，当时，取得极小值，
又，．所以在区间上的最大值为，最小值为．
18．【详解】（1）展开式的通项公式为
因为第5项为常数项，所以时，有，解得；
（2）由题意得，，解得，4，7，将其代入通项中可得，，
所以有理项分别为，，
19．【详解】（1）由表中数据可得，，，，，，则，故与的相关关系较强；
（2）由（1）可知，，所以，，关于的线性回归方程为，
当时，，故预测年该农村居民的家庭人均收入为万元．
20．【详解】（1）零假设为：数学成绩与语文成绩独立，即数学成绩与语文成绩无关，
根据表中数据计算得 ，根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，故认为数学成绩与语文成绩有关.
（2），所以估计的值为.
21．【详解】（1）选择方案一：法一：因为甲袋中有5个红球和5个白球，故从甲袋中有放回地摸球，每次摸到红球的概率为，由题意可得，设积分为，可能取值为0，10，20，30，
，，
，，
则的分布列为
0 10 20 30
且；
法二：由题意可得，设抽中红球的次数为，积分为，因为，所以，
因为，所以；
若选择方案二：设事件“从甲袋摸球”，则事件“从乙袋摸球”，事件“摸出的是红球”，设方案二的积分为，则，则，
因为，所以选择方案一；
（2）由题意得，则，
解得，又，即时，最大.
22．【详解】（1）
（i）当时，，则在为增函数
（ii）当时，令得，当时，当时，
所以在为减函数，在为增函数
综上：当时，在为增函数
当时，在为减函数，在为增函数
（2），，则，
，要证，只要证，即证，所以，所以只要证，只要证，设，则只要证，所以只要证
设（），则，设，则，所以为减函数，所以，所以为增函数，所以，所以成立，所以原式得证.
