苹果与抽屉
同学们好，今天我们来研究一个有趣的问题。黑、白、黄三种颜色的筷子各有很多根，放在一个盒子里，把手伸到盒子里一次最少拿出几根筷子就能保证有一双颜色相同的筷子。为了更好地说明这个问题，我们共同研究下面几个问题。
例1. 有3只鸽子要飞到两个鸽笼中，想想会有几种情况呢？要么2只鸽子飞到一个笼子里，1只鸽子飞到另一个笼子里；要么3只鸽子飞到一个笼子里，另一只笼子是空的。这两种情况可以用一句话表示：不管鸽子飞进哪一个笼子，一定有一个笼子里至少飞进2只或2只以上的鸽子，但可以肯定，一定有2只或2只以上的鸽子飞进了同一个笼子里。
例2. 有4个苹果，放进三个抽屉里，有几种放法？
4 0 0
3 1 0
2 2 0
2 1 1
答：只有4种方法。
例3. 有6个苹果，放在5个抽屉里，有几种放法？
6 0 0 0 0
5 1 0 0 0
4 2 0 0 0
4 1 1 0 0
3 3 0 0 0
3 2 1 0 0
3 1 1 1 0
2 2 2 0 0
2 2 1 1 0
2 1 1 1 1
请同学们仔细，认真地观察上两个题，你能发现了什么规律？
当把4个苹果放到3个抽屉里或把6个苹果放到5个抽屉里时，不管怎样放，其中总有一个抽屉放2个或2个以上的苹果，这就是简单的抽屉原则，也就是当苹果的个数比抽屉的个数多的时候，不管怎么放，至少有一个抽屉里放2个或2个以上的苹果。
【例题分析】
例1. 三（1）班第一组共有6名同学，第一周就轮到第一组擦黑板，6名同学都擦了黑板，那么，第一组的同学中一定有2名同学在同一天擦黑板，你知道为什么？
分析与解答：每周上课5天，所以5天要擦黑板，我们把每天当做抽屉，把每个同学当做苹果，这样就有5个抽屉，6个苹果，根据抽屉原则，可以说明必定有2个同学在同一天里擦了黑板。
例2. 黑、白、黄三种颜色的筷子有很多根，把它们放在一个盒子里，把手伸到盒子里一次至少拿几根筷子就能保证有一双是同样颜色的筷子？
分析与解答：我们把黑、白、黄三种颜色的筷子当作三个抽屉，把筷子的根数当作苹果，根据抽屉原则，只有苹果的数目要比抽屉的数目多时，才能保证其中有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果，比3个抽屉多的数有4、5、6……而题目问的是最少拿几根，所以最少拿4根筷子就能保证有一双颜色是同样的筷子。
还可以这样想：如果从最不利的情况考虑，拿出的3根筷子是三种不同颜色的，那么再拿一根筷子，不管是什么颜色，都可以与原来三种颜色的一根配成一双同样颜色的筷子。列式：
例3. 有国光苹果、红玉苹果、香蕉苹果三种苹果各10个混放在一起。李明闭着眼去拿，问他一次至少拿几个，才能保证有两个苹果是同一品种的？
分析与解答：把3种苹果当作3个“抽屉”，根据抽屉原则，至少有4个苹果，才能使其中的一个抽屉里至少有两个苹果，所以，他一次至少拿4个苹果，才能保证有两个苹果是同一品种的。
列式：（个）
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 尝试练习
1. 想一想
某小学中年级有学生367名是1984年出生的，老师对他们说：“你们同学当中肯定有2个或2个以上的同学在同一天里过生日。”你知道为什么吗？
2. 把7个苹果放在3个抽屉里，有几种放法？
7 0 0
6 1 0
□ □ □
□ □ □
□ □ □
□ □ □
□ □ □
通过上面的排列，你能发现什么规律吗？
3. 有黑、白、黄、红四种颜色的球各有若干个，最少拿出多少个球就能保证有2个球是同一种颜色的？
二. 拓展提高
1. 有红、黄、蓝、白、绿五种颜色的小球各8个，混合后放到一个袋里，一次至少摸出多少个球，才能保证有2个是同一颜色的？
2. 有一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能保证有2张牌是同一花色的？
3. 把44粒花生分给9只小猴，那么至少有两只小猴分得的花生一样多。为什么？
请做完之后在看答案！
【试题答案】
一. 尝试练习
1. 想一想
某小学中年级有学生367名是1984年出生的，老师对他们说：“你们同学当中肯定有2个或2个以上的同学在同一天里过生日。”你知道为什么吗？
一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，把367个同学的生日看作367个“苹果”，367个苹果放进366个抽屉中，一定有一个抽屉里至少有两个苹果。这就说明，一定有一天，至少有两个同学是同一天出生的。
2. 把7个苹果放在3个抽屉里，有几种放法？
7 0 0
6 1 0
□ □ □
□ □ □
□ □ □
□ □ □
□ □ □
通过上面的排列，你能发现什么规律吗？
苹果的个数比抽屉的个数多的时候，不管怎么放，至少有一个抽屉里要放2个或2个以上的苹果。
3. 有黑、白、黄、红四种颜色的球各有若干个，最少拿出多少个球就能保证有2个球是同一种颜色的？
4×1＋1＝5（个）
二. 拓展提高
1. 有红、黄、蓝、白、绿五种颜色的小球各8个，混合后放到一个袋里，一次至少摸出多少个球，才能保证有2个是同一颜色的？
5×1＋1＝6（个）
2. 有一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能保证有2张牌是同一花色的？
1×4＋1＋2＝7（张）（一副牌中注意有大猫和小猫）
3. 把44粒花生分给9只小猴，那么至少有两只小猴分得的花生一样多。为什么？
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45（粒）
要想每只小猴分到不一样需要45粒，而实际只有44粒，所以至少有两只小猴分得的花生一样多。
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4用倒推法解应用题
【典型例题】
例1. 做一道加法题时，小刚把个位上的8看作9，把十位上的8看作3，结果和是243，问正确答案应是多少？
分析与解答：
小刚把个位上的8看作9，使得和增加了1，把十位上的8看作3，使和减少了，因此，我们可以把这道题转化为某数加1，减去50得到243，求这个数应是：
例2. 小明有书若干本，如果他的书本数加上3，再减去4，然后除以5，再乘以6得12本，问小明有书多少本？
分析与解答：
我们先顺着题目来看，由题目可以列出以下四个式子：
小明的本数＋3＝和 （1）
和－4＝差 （2）
差÷5＝商 （3）
商×6＝12 （4）
根据所给式子，再倒回去考虑，就可以求出小明的书的本数。
由（4），商＝12÷6＝2
由（3），差＝2×5＝10
由（2），和＝10＋4＝14
由（1），小明书的本数＝14－3＝11（本）
例3. 王强、李华、张薇，各有球若干个，王强给李华如李华现有的球那么多，王强也给张薇如张薇现有的球数，然后李华按王强和张薇手中的球数分别给王强、张薇添球，最后张薇也按王强、李华手中的球数添球，此时，三人手中都有24个球，原来三人各有几个球？
分析与解答：
以第三次添球开始倒推。因第三次后各人都有24个球，因此在第三次（张薇）添球前，王张手中有（个）球。
李华手中也有个球，而张薇的球应是个球。
第二次添球后，三人手中分别有12，12，48个球，同上而推法一样，第二次添球前：
王强手中球数是：（个）
张薇手中球数是：（个）
李华手中的球数：（个）
因此，原来三人有的球数分别是：
张薇：（个）
李华：（个）
王强：（个）
例4. 仓库里原有煤若干吨。第一天上午运出原有煤的一半，下午运出5吨，第二天上午运出剩下煤的一半，下午运出5吨，第三天上午又运出剩煤的一半，下午再运出5吨。这时仓库还剩有24吨，仓库里原有煤多少吨？
分析：
仓库里最后剩下的煤加上第三天下午运出的5吨，等于第三天上午运出的煤，所以第三天在未运输之前，总共有煤：（吨）。
58吨加上第二天下午运出的5吨，等于第二天上午运出去的煤，所以第二天在未运输之前，仓库里共有煤：
（吨）
126吨加上第一天下午运出的5吨，等于第一天上午运出的煤，所以仓库里原来共有煤：
（吨）
答：仓库里原有煤262吨。
例5. 甲、乙、丙三人共有苹果24个，甲将自己的苹果留一半，另一半给乙，丙两人对分；然后乙又将他所有的苹果拿一半给甲、丙对分，自己留一半；最后丙也将他所有的苹果拿出一半给甲、乙对分，自己留一半。结果三人各拥有的苹果数相等。问甲、乙、丙三人原来各有苹果几个？
分析与解答：
我们用倒推法，因最后每人拥有的苹果数相等，而且苹果总数是24，所以最后每人的苹果数是：
（个）
接着我们用逆推法求出甲、乙、丙三人原有的苹果数。从最后每人拥有8个苹果可知，丙拿出了8个苹果给甲、乙对分。因此，甲乙在未得到丙的苹果前，拥有的苹果数都是：
丙：（个）
这又说明乙拿出给甲丙对分的苹果是4个，那么甲丙在未得到乙的苹果前，拥有苹果数是：
甲：（个）
丙：（个）
这又说明甲拿出给乙、丙对分的苹果是2个，那么乙丙在未得到甲的苹果前拥有苹果数是：
乙：（个）
丙：（个）
甲：（个）
我们还可以列表来分析，更清楚。
甲 乙 丙
最后每人拥有的苹果数 8 8 8
丙未给甲乙之前的数 4 4 16
乙未给甲丙之前的数 2 8 14
甲未给乙丙之前的数 4 7 13
答：甲、乙、丙原分别有苹果4个、7个、13个。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 一位学生将“某数的平方加上3，减去1，除以2”的试题中的平方误认为乘以2，得到的结果是5。问正确答案应是多少？
2. 两个数相除，商3余10，被除数、除数、商与余数的和是143，求被除数是几？
3. 三个数的和为1250，甲数是丙数的7倍，乙比甲多50，三个数各是多少？
请做完之后再看答案!
【试题答案】
1. 一位学生将“某数的平方加上3，减去1，除以2”的试题中的平方误认为乘以2，得到的结果是5。问正确答案应是多少？
学生运算到结果是5，那么除以2等于5的数是：
减去1等于10的数是：，加上3等于11的数是，乘以2等于8的数是，某数为4，将4按题目中规定的正确运算顺序进行运算得：
答：正确答案是9。
2. 两个数相除，商3余10，被除数、除数、商与余数的和是143，求被除数是几？
将143减去商和余数，得：
，这个130是被除数与除数之和
如果把除数作为1份，那么被除数便是3份余10。
被除数是：
答：被除数是100。
3. 三个数的和为1250，甲数是丙数的7倍，乙比甲多50，三个数各是多少？
如果把丙作为1份，那么甲是7份，乙数减去50后与甲相等，所以乙是丙的7倍加50，这样，可知1250是由份和丙数加上50得到的，每份等于
甲：
乙：
丙：
答：甲、乙、丙三数各为560、610、80。
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4用倒推法解应用题
【典型例题】
同学们有些应用题的解法的思考，是从结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析推理。追根究底，逐步推出，使问题得到解决，这种思考的方法，我们叫倒推法。
例1. 小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4，请你算一算，我今年几岁？”
分析与解答：
我们从最后的结果，“正好等于4”逐步倒着推，这个数没除以5时应该是多少？没加上6时应该是多少？没乘以7时是多少？没减去8时是多少？这样依次逆推，就可以推出小明的年龄数。
（1）“除以5，正好等于4”。如果不除以5时此数是：
（2）“加上6，此数是20”。如果没加上6时，该数是：
（3）“乘以7，此数是14”。如果不乘以7时，这个数是：
（4）我的年龄数减去8，此数是2，如果不减去8时，我的年龄数是：
综合算式：
验算：为了保证解题正确，可按原题的叙述顺序进行列式计算，看最后结果是否“正好等于4”。若等于4，则解题正确。
例2. 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩下7米，这捆电线原来有多少米？
分析与解答：
为了帮助同学们分析数量关系，可依题意画图：
全长的一半
3米
第一次用的 余下的一半
10米
第二次用的
第三次用去 7米
15米
从线段图上可以看出：
（1）（米）……就是第一次用去后余下的一半
（2）（米）……就是余下的电线长度
（3）（米）……就是全长的一半
（4）（米）……原电线的长度
综合：
验算：第一次用去的：
第二次用去的：
剩下的：
答：这根电线原来有54米。
例3. 货场原有煤若干吨，第一次运出原有煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果剩余煤的2倍是1200吨，货场原有煤多少吨？
分析与解答：
由于原有煤的总吨数是未知的，所以要想顺解是很不容易的，我们先看图，然后根据图分析：
原有煤
第一次运出 第二次运进
原有煤的一半 450吨
现有煤的一半 50吨 1倍
第三次运出 剩余煤
2倍
1200吨
结合上图，用倒推法进行分析：题目中的数量关系就可以跃然纸上了，使同学们一目了然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”，就可以求出剩余煤的吨数，根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”，和剩余煤的吨数，就可以求出现有煤的一半是多少吨，于是可求出现有煤的吨数，用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有煤的一半是多少。最后再求出原有煤多少吨。
（1）剩余煤的吨数是：
（吨）
（2）现有煤的一半是：
（吨）
（3）现有煤的吨数是：
（吨）
（4）原有煤的一半是：
（吨）
（5）原有煤的吨数是：
（吨）
验算：
第一次运出的煤是：（吨）
二次运进的煤后现有的煤：（吨）
三次运出的煤：（吨）
剩余煤：（吨）
剩余煤的2倍是：（吨）
答：原有煤1700吨。
例4. 有一筐苹果，甲取出一半又1个，乙取出余下的一半又1个；丙取出再余下的一半又1个，这时筐里只剩下1个苹果。这筐苹果共值6元6角，问每个苹果平均值多少钱？
分析与解答：
一半 余下的一半 再余下的一半
甲取出的 一个 一个 一个一个
乙取出的 丙取出的
从线段图上可以看出：
最后一个再加上丙取出的1个就是再余下的一半，即2个是再余下的一半，因此，再余下的就是（个）。
4个再加上乙取出的1个就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是（个）。
10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半，所以全筐苹果的总数就是：
（个）
22个苹果共值6元6角，于是可求出每个苹果平均值是多少钱？
6元6角＝66角或6.6元
角，或元
验算：
甲取出的：个
乙取出的：个
丙取出的：个
最后筐里剩下的：个
整筐苹果共值角，即6元6角。
答：每个苹果平均值3角钱。
同学们用倒推法也是一种常见的思考方法，在解答这类应用题时，要根据题目的特点，从问题的最后结果着手倒推去解决问题，有些题目如果用倒推法去解，就可以化难为易，化繁为简。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1. 一个数加上2，减去3，乘以4，除以5，结果等于12。问这个数是多少？
2. 修路队修一条公路，第一天修了全长的一半少40米，第二天修了余下的一半多10米，还剩60米，这条公路全长多少米？
3. 妈妈从副食店买回几个鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天吃了余下的一半又半个，恰好吃完，妈妈买回多少个鸡蛋？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
1. 一个数加上2，减去3，乘以4，除以5，结果等于12。问这个数是多少？
2. 修路队修一条公路，第一天修了全长的一半少40米，第二天修了余下的一半多10米，还剩60米，这条公路全长多少米？
3. 妈妈从副食店买回几个鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天吃了余下的一半又半个，恰好吃完，妈妈买回多少个鸡蛋？
我们用倒推法，就很容易知道第三天吃了（个），问题就好解了。
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