三年级奥林匹克数学
四则计算中各数之间的关系
同学们对于加、减、乘、除四则计算已经很熟悉了，而且知道运算中各部分的名称以及它们之间的基本关系，例如：加数＋加数＝和，被减数－减数＝差，因数×因数＝积，被除数÷除数＝商。今天我们一起研究四则计算之间的关系。
想一想，根据下面各数的关系，你还能联想到什么？
加数＋加数＝和（ ）
被减数－减数＝差（ ）
（ ）
因数×因数＝积（ ）
被除数÷除数＝商（ ）
（ ）
例1. 在下列各式的括号里填上适当的数。
（1）被减数－（减数＋差）＝（ ）
（2）因数×因数－积＝（ ）
（3）被除数÷（商×除数）＝（ ）
分析与解答：
（1）在减法中，被减数本身就包含着两部分——减数与差，所以题中括号的（减数＋差）就应该等于被减数，被减数再减去被减数的结果当然是0了，所以括号里填0。
象这样的题目我们也可以设计几个合理的数据来解答。
那么，又如，那么。
（2）在乘法中，因数与因数相乘就等于积，所以这道题就相当于积减去积，结果是0，括号里填0。
如，那么
，那么
（3）这道题思考起来比较困难，我们还是采用举例办法。
如，那么
如，那么
所以被除数（商除数）
我们在设数解决问题时要注意两点，一是数据尽可能地小，这样便于计算，另一是尽量不用1和0，因为这两个数太特殊，用它们进行计算，有时不能反应算式的普遍意义。
例2. 在一道减法算式中，已知被减数、减数与差的和是240，那么被减数是（ ）
分析与解答：由于被减数，减数与差的和是240，而我们又知道减数加差的和就是被减数，因此240实际就是2倍的被减数，即两个被减数和，用就可以了。
例3. 在一道减法算式里，减数比差多，已知被减数、减数、差的和是240，那么减数是多少？
（1）减数与差的和是多少？
（2）减数是多少？
答：减数是64。
例4. 在一道减法算式中，被减数是减数的5倍，那么差是减数的（ ）倍。
分析与解答：画图
被减数是减数的5倍，就是说：被减数里有5个减数那么多，减去一个减数，应该还有4个减数，被减数＝减数＋差，4个减数正好是差，因此，差是减数的4倍。
也可以设数解答，如：
（倍）
例5. 在一道减法算式中，被减数、减数、差的和是120，减数是差的4倍，被减数、减数差各是多少？
（被减数）
（差）
（减数）
答：被减数是60，减数是48，差是12。
［模拟试题］（答题时间：40分钟）
（一）试一试，独立完成
1. 在一道加法算式里，两个加数与它们的和共是240，那么这两个加数的和多少？
2. 在一道减法算式里，被减数是250，那么，被减数、减数、差的和是多少？
3. 在减法算式里，被减数是减数的2倍，那么，被减数就应该是差的多少倍？
4. 在加法算式里，和是一个加数的6倍，那么另一个加数就是这个加数的多少倍？
（二）1. 两个加数的和比一个加数大32，比另一个加数大18，这两个加数的和是多少？
2. 有一个减法算式，被减数比减数多30，比差多15，被减数、减数、差的和是多少？
3. 有一个减法算式，被减数加上减数，再加上它们的差，和是542，减数是135，差是多少？
4. 甲数比乙数的3倍多10，比乙数的5倍少2，乙数是多少，甲数是多少？
请做完之后再看答案!
【试题答案】
（一）试一试，独立完成
1. 在一道加法算式里，两个加数与它们的和共是240，那么这两个加数的和多少？
240÷2＝120
2. 在一道减法算式里，被减数是250，那么，被减数、减数、差的和是多少？
250×2＝500
3. 在减法算式里，被减数是减数的2倍，那么，被减数就应该是差的多少倍？
2倍
4. 在加法算式里，和是一个加数的6倍，那么另一个加数就是这个加数的多少倍？
6－1＝5倍
5÷1＝5倍
（二）1. 两个加数的和比一个加数大32，比另一个加数大18，这两个加数的和是多少？
32＋18＝50
答：和是50。
2. 有一个减法算式，被减数比减数多30，比差多15，被减数、减数、差的和是多少？
（30＋15）×2＝90
答：被减数、减数、差的和是90。
3. 有一个减法算式，被减数加上减数，再加上它们的差，和是542，减数是135，差是多少？
542÷2＝271
271－135＝136
答：差是136
4. 甲数比乙数的3倍多10，比乙数的5倍少2，乙数是多少，甲数是多少？
（10＋2）÷2＝6（乙数）
6×3＋10＝28（甲数）
答：甲数是28，乙数是6。
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3三年级奥林匹克数学
年龄问题（二）
同学们好，今天我们继续研究年龄问题。两个不同年龄的人，若干年后或若干年前，他们年龄的差仍然不变。同学们可以抓住差不变这个关键，巧解有关年龄的应用题以及其他一些有关“差不多”的应用题。
例1. 小军今年8岁，她爸爸今年34岁。小军多少岁时，爸爸的年龄正好是她的3倍？
分析与解：同学们都清楚，无论小军多少岁时，她爸爸都比她大岁，即26岁。当她爸爸的年龄正好是她的3倍时，爸爸的年龄比她大（倍），这时她爸爸比她大的岁数仍然是26岁，这个差是不变的。我们抓住这个差和倍，就可以应用前面刚学过的“差倍”问题的解法求出那时小军的年龄。
（1）爸爸现在的年龄比小军现在大的岁数是：
（2）爸爸的年龄正好是小军的3倍时，爸爸年龄比小军大的倍数是：
（3）爸爸的年龄正好是小军的3倍时，小军的年龄是：
（岁）
综合列式计算：
验算：（岁），（岁）
（倍）
以上验算符合题意，说明解题结果正确。
答：小军13岁时，爸爸的年龄正好是她的3倍。
例2. 姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数的和是40岁时，两人各应该是多少岁？
分析与解：如图1
图1
分析1：为了使关系具体、形象，以显示解题思路，请看上面的线段图。
同学们都知道姐弟俩年龄的差是4岁，不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是4岁。由图1又可以看出，如果从40岁中减去姐弟年龄的差（即图中竖虚线右边的横虚线），再除以2就得到所求的弟弟的年龄；再用弟弟的年龄数加上4就得到所求的姐姐的年龄数。
解法1：
（1）姐姐比弟弟大的岁数是：
（2）相当于若干年后弟弟年龄2倍的数是：
（3）当姐弟俩岁数的和是40岁时，弟弟的年龄是：
（岁）
（4）当姐弟俩岁数的和是40岁时，姐姐的年龄是：
（岁）
综合列式计算：
答：当姐弟俩岁数的和是40岁时，姐姐22岁，弟弟18岁。
分析2：不管经过多少年，姐弟俩的年龄差都是4岁。由图1又可以看出如果用40岁加姐弟俩年龄的差再除以2，就得到姐姐的年龄，再用姐姐的年龄减去4就是所求弟弟的年龄。
答：姐姐22岁，弟弟18岁。
我们通常把以上方法叫做“和差”问题解题法，它的解题要点是：
（两数的和－两数的差）÷2＝较小的数
较小数＋两数差＝较大数
（和－较小的数＝较大的数）
或（两数的和＋两数的差）÷2＝较小的数
较大的数－两数的差＝较小的数
（和－较大的数＝较小的数）
［模拟试题］（答题时间：40分钟）
（一）试一试，独立完成。
1. 红红与丽丽的年龄和是25岁。六年后，丽丽比红红大3岁，红红和丽丽今年各几岁？
2. 小明四年前的年龄等于小强六年后的年龄，小明四年后的年龄与小强三年前的年龄之和是37岁，求甲、乙两人今年各是几岁？
3. 小明今年8岁，爸爸今年34岁，小明几岁时，爸爸的年龄正好是小明的3倍？
4. 母女的年龄和是64岁，女儿年龄的3倍比母亲年龄多8岁，那么母亲今年多少岁，女儿今年多少岁？
（二）解决生活中的实际问题
1. 父亲现在36岁，儿子现年6岁。
（1）当父亲的年龄是儿子的3倍时，是几年前还是几年后？
（2）11倍时呢？
2. 小张比小王大2岁，小李比小张大2岁，小赵比小张小1岁，小杨比小李小3岁，这五人的年龄和是58岁，这五人各是几岁？
3. 哥哥与弟弟3年后的年龄和是33岁，弟弟今年的年龄等于俩人的年龄差，哥哥今年几岁，弟弟今年几岁？
4. 姐姐五年后与妹妹四年前的年龄和是36岁，姐姐七年前的年龄与妹妹两年后的年龄相等，姐姐今年几岁？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
（一）试一试，独立完成。
1. 红红与丽丽的年龄和是25岁。六年后，丽丽比红红大3岁，红红和丽丽今年各几岁？
丽丽的年龄：
红红的年龄：
还可以先求红红的年龄是：
2. 小明四年前的年龄等于小强六年后的年龄，小明四年后的年龄与小强三年前的年龄之和是37岁，求甲、乙两人今年各是几岁？
小明的年龄：
小强年龄：
3. 小明今年8岁，爸爸今年34岁，小明几岁时，爸爸的年龄正好是小明的3倍？
爸爸和小明的年龄差是：
爸爸的年龄比他大
小明的年龄是：
4. 母女的年龄和是64岁，女儿年龄的3倍比母亲年龄多8岁，那么母亲今年多少岁，女儿今年多少岁？
女儿年龄是：
母亲年龄：
（二）解决生活中的实际问题
1. 父亲现在36岁，儿子现年6岁。
（1）当父亲的年龄是儿子的3倍时，是几年前还是几年后？
儿子15岁时父亲是儿子年龄的3倍，由于儿子今年6岁，所以15－6＝9（年）后父亲的年龄是儿子年龄的3倍。
（2）11倍时呢？
这是父亲年龄是儿子年龄11倍时，儿子的年龄，所以应在前
2. 小张比小王大2岁，小李比小张大2岁，小赵比小张小1岁，小杨比小李小3岁，这五人的年龄和是58岁，这五人各是几岁？
小王＝小张－2
小李＝小张＋2
小赵＝小张－1
小杨＝小李－3＝（小张＋2）－3＝小张－1
把其余4人的岁数都当作小张的岁数，年龄变为：
小张：60÷5＝12岁
小李：12＋2＝14岁
小王：12－2＝10岁
小赵：12－1＝11岁
小杨：12－1＝11岁
3. 哥哥与弟弟3年后的年龄和是33岁，弟弟今年的年龄等于俩人的年龄差，哥哥今年几岁，弟弟今年几岁？
4. 姐姐五年后与妹妹四年前的年龄和是36岁，姐姐七年前的年龄与妹妹两年后的年龄相等，姐姐今年几岁？
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5通过画图解应用题
（一）学习指导
同学们在解答应用题时，我们可以先把应用题中的已知条件和所求的问题用图表示出来，然后通过图去寻找解答应用题的方法，我们称这种方法叫图解法。
例1. 学校买来4个足球和2个排球，共用去102元，每个足球比每个排球贵3元，每个足球和排球各多少元？
分析与解答：此题如果用两条线段表示题目中的条件和问题，不容易显示出解题的思路，为了能准确、明显地展示出题目中的数量关系，我们把2个排球画成两条相等的线段。因为每个足球比每个排球贵3元，所以把4个足球画成四条略长的相等的线段，同时用虚线把贵的部分清晰地表示出来（图1），这样就便于同学们分析数量关系了。
图1
（1）这时我们从图中可以看出：如果从总钱数102元中减去4个3元，那么就可得到相当6个排球的总价，从而就求出每个排球的单价，然后再求每个足球的单价。
解法一：
元（排球的单价）
元（足球的单价）
（2）我们从图中又可以看出：如果总价钱102元加上2个3元，那么得到的是相当于6个足球的总价，从而求出每个足球的单价，进而求出每个排球的单价。
解法二：
元（足球单价）
元（排球单价）
验算：元
元
答：每个足球18元，每个排球15元。
同学们，在分析解答应用题时，为了迅速地找出解题线索，可依据题意画出一条，二条，三条或多条线段，至于画几条线段或画什么图，没有规定，要依据题意灵活掌握，怎样能显示数量关系，就怎么画，请看下面的例题。
例2. 有一块长24分米，宽12分米的三合板，杠师付沿着长边靠近中点处（不挨着中点）锯掉一块边长是5分米的正方形，求剩余部分的周长是多少？
分析：
解答此题，既不能直接用长、正方形的周长公式去求，又不能画线段图进行观察，最直观的方法定画出示意图（图2）
图2
原题的数量不清楚，画出图后就把数量关系清楚地表示出来了，即求图中阴影部分的周长。
（1）用原来长方形三合板的周长长度减去锯掉的正方形一条边的长度数，再加上锯掉的正方形一条边长度的3倍，得到剩余部分的周长的长度数。
解法一：（分米）
（2）因为正方形的四条边都相等，图中开口处的距离长度数和它所对的正方形的边长长度相等，所以用原来长方形三合板的周长的长度数加上锯掉的正方形一条边长度的2倍，就是剩余部分的周长的长度。
解法二：分米
验算：这道题除了以上两种解题方法外，还有其它解法，所以在验算时可以用另外解法，如：分米。
答：剩余部分的周长是82分米。
例3. 前进小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画是科技书的4倍，已知三种书共有2400本，三种书各有几本？
分析解答：我们把故事书当成1份，科技书有这样的3份，再把科技书看成1份，连环画有这样的4份。由于科技书1份相当于故事书的3份，所以连环画相当于故事书的份。
这样很容易看出它们的份数关系，那么总数是2400本相当于份故事书，求1份故事书本，科技书本，连环画本，从这道题的分析中我们可看到，当遇到有两组倍数关系的量，且1份所代表的量不同，我们可以根据条件，把1份所代表的量转化为相同的量，这是解题的关键。
例4. 一、二、三班的图书角共有书197本，二班比一班多5本，三班比二班少14本，三个班的图书角各有书多少本？
分析与解答：如果条件是三个班的书同样多，则问题就好解决了，我们由这点启示，运用“假设”思想就容易解决了，怎么假设呢？这道题有几种解法？我们先画图，再观察一下，想一想。
解法一：我们假设二班，三班的书与一班同样多，以一班的书为标准，则二班的书要比实际的书少5本，而三班的书则比实际的多本，想一想，这时的总本数应是多少呢？
列式：
（本）（二班）
（本）（三班）
答：一、二、三班图书角各有67本，72本，58本。
解法二：我们“假设”一班、三班的书都和二班一样多，那么一班、三班的书比实际有的书相差多少？怎样调整呢？一班比二班少5本，三班比二班少14本，这样，从总数里加上少的5本和14本，二个班的书就同样多了。
列式：
（本）（一班）
（本）三班
例6. 食堂买来大米和面粉共850千克，大米比面粉多买了50千克，大米和面粉各买了多少千克？
分析：画图观察
从图上可知，如果少买50千克，则大米和面粉同样多，即一共重千克，从而可求出面粉的重量。
解法一：（千克）（面粉）
（千克）（大米）
解法二：（千克）（大米）
（千克）（面粉）
二. 认真思考，独立完成（分析、画图、解题）（答题时间：20分钟）
1. 甲乙两车共有乘客160人，从A站经B站开往C站，在B站甲车增加17人，乙车减少23人，开往C站时，两车乘客恰好相等，两车有乘客各多少人？
2. 甲乙两人的年龄和是33岁，甲比乙大3岁，甲、乙各几岁？
3. 幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班，大班比中班多分4千克，中班比小班多分6千克，小班分多少千克？
请做完之后再看答案！
【试题答案】
二. 认真思考，独立完成（分析、画图、解题）
1. 甲乙两车共有乘客160人，从A站经B站开往C站，在B站甲车增加17人，乙车减少23人，开往C站时，两车乘客恰好相等，两车有乘客各多少人？
（1）甲车人数没有增加，乙车人数没有减少前，两车人数相等。
（人）
（2）甲车原来人数的2倍是多少？
（人）
（3）甲车原来的人数？
（人）
（4）乙车原来人数？
人
2. 甲乙两人的年龄和是33岁，甲比乙大3岁，甲、乙各几岁？
（乙）
（甲）
3. 幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班，大班比中班多分4千克，中班比小班多分6千克，小班分多少千克？
（1）大班比小班多多少千克？
（千克）
（2）小班苹果的3倍是多少千克？
（千克）
（3）小班分得苹果多少千克？
（千克）
综合：
（千克）
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