新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题（含答案）

昌吉州高中学联体2022-2023学年第二学期质量监测
高一数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.
1.复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则（ ）
A.1 B.2 C. D.4
3.若复数满足，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A. B.2 C. D.3
4.设有直线、和平面、.下列四个命题中，正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，，则
C.若，，，则
D.若，，则
5. 校高一年级的学生人数为640、高二年级的学生人数为600、高三年级的学生人数为560，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为90的样本，则高三年级应该抽取的人数为（ ）
A.28 B.30 C.32 D.36
6.已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.为了测量学校教学楼的高度，甲同学在运动场上选取相距25米的，两观测点，且，与教学楼底部在同一水平面上，在，两观测点处测得教学楼顶部的仰角分别为45°，30°，并测得，则教学楼的高度是（ ）
A.20米 B.米 C.25米 D.米
8.若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，其中平面，，，，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
B.如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差也改变
C.一个样本的方差，则这组数据总和等于60
D.数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差为
10.正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则下列说法正确的是（ ）
A.该正六棱台的上底面积是
B.该正六棱台的侧面面积是
C.该正六棱台的表面积是
D.该正六棱台的高是
11.有下列说法其中正确的说法为（ ）
A.若，，则
B.若，则存在唯一实数使得
C.两个非零向量，，若，则与共线且反向
D.若，，分别表示，的面积，则
12.在矩形中，，，沿矩形对角线将折起形成四面体，在这个过程中，现在下面四个结论其中所有正确结论为（ ）
A.在四面体中，当时，
B.四面体的体积的最大值为
C.在四面体中，与平面所成角可能为
D.四面体的外接球的体积为定值.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 8 7
则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______.
14.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为3或4”，则事件发生的概率是______.
15.在中，为边上一点，，，，若使的个数有且仅有两个，则线段长度的范围为______.
16.如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别为棱，，的中点，则①直线到平面的距离为2；②直线与直线的夹角的余弦值为；③点与点到平面的距离之比为；④平面截正方体所得截面面积为9.
上述结论中正确的序号是______（多选、少选、错选均不得分）.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应在答题卷上写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知向量，.
（1）求的坐标及；
（2）求与之间的夹角.
18.（12分）一个袋子中装有标号为1，2，3，4，5的5个球，除标号外没有其他差异，
（1）采取不放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号小于第二次摸出球的标号”，写出样本空间并求事件A发生的概率；
（2）采取有放回的方式从袋中依次任意摸出两球，设事件“第一次摸出球的标号是奇数”，设事件“第二次摸出球的标号是偶数”，那么事件B与事件C是否相互独立
19.（12分）如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段，的中点.
（1）求证：面.
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
20.（12分）某超市从2023年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到如图表所示的甲种酸奶日销售量的频率分布表和乙种酸奶日销售量的频率分布直方图：
分组（日销售量） 频率（甲种酸奶）
0.10
0.20
0.30
0.25
0.15
（1）求出频率分布直方图中的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
（2）记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的平均值分别为、，求出、；
（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计甲种酸奶在未来一个月（按30天计算）的销售总量.
21.（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.已知a，b，c是的三个内角A，B，C的对边，且______.
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围.
22.（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
（3）求四面体的体积.
昌吉州高中学联体2022-2023学年第二学期质量监测
高一数学答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B C A B C D AC ACD BCD ABD
二、填空题
13.9 14.或0.5 15. 16.①②③
三、解答题
17：（1） ……2分
……5分
（2）， ……8分
由，可得 ……10分
18.解：（1）5球中不放回的摸出2球，这个试验的样本空间
.
则，
，，从而. ……6分
（2）5球中有放回的摸出2球，这个试验的样本空间，，从而， ，从而，，
从而，此时，
所以事件与事件相互独立 ……12分
19.【详解】（1）连接，∵为平行四边形，由题意可得：是线段的中点，
则，分别是线段，的中点，故，
又平面，平面，故有面 ……6分
（2）存在，是线段的中点，理由如下：
由（1）可知：，平面，平面，
∴平面，连接，，
∵、分别是线段、的中点，则，平面，平面，
∴平面，，，面，
故平面平面. ……12分
20.（1）由乙种酸奶日销售量的频率分布直方图可得：
，解得：. ……3分
根据表中数据可作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如图所示：
…….6分
（2）记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为、，
则. ……8分
……10分
（3）由（2）得甲种酸奶的平均日销售量为26.5箱，
故甲种酸奶未来一个月的销售总量为（箱） ……12分
21.（1）选①，即有
，
∵，
∴，
由正弦定理，得，整理得，则，
因为，所以.
选②，，则，即，
∵，∴，故，即.
选③，，由正弦定理得，
即，
即，整理得，
而，，∴，即，
因为，所以. ……5分
（2）由，，得，
又由，得，
……9分
又因为得，
即，
故有 ……12分
22.证明：（1）由菱形可知，又由底面，得，，、面，故有面 ……3分
（2）连接，则平面平面，由（1）知平面，则，，，故是二面角的平面角.
∵，，、平面，
∴平面，∴.
在菱形中，，，则是等边三角形，则易知，
又，∴，故，
∴，即二面角的余弦值为. ……7分
（3）由（2）可知，，，
∵底面，∴点到底面的距离为到直线的距离，为，
而，∴. ……12分