2023——2024学年苏科版数学九年级上册1.3一元二次方程根与系数的关系自主学习同步练习题（含解析）

2023-2024学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程根与系数的关系》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( )
A． B．
C． D．
2．关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．若是一元二次方程的两个根，则的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．
4．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（ ）
A．2 023 B．2 022 C．2 021 D．2 020
7．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
二、填空题
8．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值是_______．
9．已知是一元二次方程的两根，则的值为_______．
10．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是 ____．
11．如果关于x的一元二次方程的一个根为3，那么此方程的另一个根为______．
12．若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为的两根，则m的值为____________．
13．若整数使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的不等式组有解且最多有3个整数解，则所有符合条件的整数的和为_________．
14．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．下列说法：①若a+c＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a+b+c＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b2﹣6ac＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为2和3，则是方cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）．
三、解答题
15．已知为一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)；
(2)．
16．已知关于x的方程x2﹣4x＋m＝0的一个根为2＋．
(1)求m的值及方程的另一个根．
(2)设方程的两个根为x1，x2，求的值．
17．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值．
18．已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
19．已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10．
(1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
(2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长．
(3)当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？
20．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
参考答案
1．解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴3＋1＝ p，3×1＝q，
∴p＝ 4，q＝3，
所以这个一元二次方程是，
故选：A．
2．解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的方程的一个根为1，
∴x=1满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得m=-4；
又由韦达定理知1×x2=3，
解得x2=3．
故方程的另一根是3．
故选：A．
3．解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴．
故选：A
4．解：∵方程的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=-2、ab=-3， 则一次函数的解析式为y=-2x+3，
∴该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
5．解：是一元二次方程的实数根，
，
，
，
，是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故选：．
6．解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，
∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，
∴m2-m=2022，n2-n=2022，
∴（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）
=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)
=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)
=-mn
=2022，
故选：B．
7．解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
8．解： 是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
9．解：是一元二次方程的两根，
，，
，
故答案为：．
10．解：设方程的两个根为a，b，
则由根与系数的关系得：，
∵菱形的两条对角线的长是方程的两根，
∴菱形的对角线的积为8，
∴菱形的面积是，
故答案为：4．
11．解：设方程的另一根为t，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根为2．
故答案为：2．
12．解：利用一元二次方程的根与系数的关系得，
若腰为4，即，
则，不成立（根据三角形两边之和大于第三边）；
若底为4，则，
所以，
故答案为：36．
13．解：（1）一元二次方程中关于的值；
整数使得关于的一元二次方程有实数根，
解得
（2）一次不等式组中关于的值；
关于的不等式组
①整理为，
②整理为：
不等式组的解集为
有解且最多有3个整数解，
可取3，2，1
结合（1）的结论：；
综上
符合条件的整数是0，1，2
和为
故答案为：3
14．解：①因为a+c＝0，a≠0，所以a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；
②∵x=1时，ax2+bx+c＝a+b+c，
∴a+b+c＝0时，一定有一个根是1，故②正确；
③根据b2﹣6ac＞0，不能得到b2﹣4ac＞0，从而不能证得方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵2和3是ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，
∴，
∴，
而，
∴是方和cx2+bx+a＝0（a≠0）的根，故④正确，
∴正确的结论是①②④，
故答案为：①②④，
15．（1）解：∵为一元二次方程的两根
∴
∴．
（2）解：∵为一元二次方程为的根
∴即
∴ ．
16．（1）解：设方程的另一个根为a，
∵关于x的方程x2﹣4x＋m＝0的一个根为2＋，
∴a＋2＋＝4，（2＋）a＝m，
解得：a＝2﹣，m＝1，
∴m＝1，方程的另一个根为2﹣．
（2）解∶∵x1，x2是方程x2﹣4x＋1＝0的两个根，
∴x1＋x2＝4，x1 x2＝1，
．
17．解：(1)关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
(2)∵，，
∴
．
∵，
∴，即，
解得或．
由（1）知，
∴．
18．（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
19．（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根，
当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0，
解得n=12或10，
①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10=22，
∴m=12，
∴△ABC的周长为：10+10+12=32；
②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n=18，
解得n=8，
∴△ABC的周长为10+10+8=28；
综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根，
∴AB+AC=2（n-1），AB AC=n2-2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即4（n-1）2-2（n2-2n）=100，
解得n=8或-6，
当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意，
当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意，
综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
20．（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴，．
故答案为：；．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴，，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴，，
∵
∴或，
当时，，
当时，，
综上分析可知，的值为或．