2023——2024学年苏科版数学九年级上册1.4用一元二次方程解决问题自主学习同步练习题（含答案）

2023-2024学年苏科版九年级数学上册《1.4用一元二次方程解决问题》
自主学习同步练习题（附答案）
一、单选题
1．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是3600元．设该制药厂生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（ ）
A．35 B．53 C．62 D．35或53
3．在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
5．在能源危机的持续影响下，中国的电热毯成为欧洲消费者最近抢购的爆款单品．距某电商平台数据显示，十月份的销量为5000条，若每个月较前一个月的增长率均为x，预计十一月份和十二月份的总销量将达到22500条．则x满足的方程是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　）
A．s B．2s C．10s D．10s或2s
7．某网店以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，为了尽快减少库存，网店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，该网店日盈利可达到元？设每件商品售价为元时，该网店日盈利可达到元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为________，解得年利率是________．
9．有一长方形的桌子，长为3m，宽为2m，一长方形桌布的面积是桌面面积的2倍，且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同，则桌布长为__m，宽为__m．
10．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了__元．
11．秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有49名学生患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为________．
12．某商场销售一批衬杉，平均每天可售20件，每件盈利40元．经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出4件，为了尽量减少库存，若商场平均每天要利1200元，每件衬衫应降价______元．
13．两个连续的正奇数的积是143，则这两个奇数的和是________．
14．“喜逢校庆双甲子”，为迎接我校120周年校庆，某兴趣小组对校园进行美化改造，决定对矩形花圃ABCD进行扩建．如图，AB=20米，AD=15米，扩建后矩形花圃的面积为408平方米，若BF=2DE，则扩建后花圃的长和宽分别是多少米？设DE=x米，则可列方程为____
三、解答题
15．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．
16．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
17．如图，在中，，平分，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)如果，的长单位：米）是的两根，求的长以及菱形的面积；
(3)在（2）的条件下，若动点从出发，，沿以米秒的速度匀速直线运动到点C，动点从出发，沿以米秒的速度匀速直线运动到点，当运动到点时，运动停止．若、同时出发，问出发几秒钟后，的面积为米2
18．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
19．食用脐橙果大、皮薄，色泽鲜艳，果肉多汁化渣，风味浓郁，果汁中含有大量的维生素及对人体有益的有物质，深受消费者的喜爱．某合作社从年到年每年种植脐橙100亩，年脐橙的平均亩产量为千克，年到年引进先进的种植技术提高脐橙的产量，年脐橙的平均亩产量达到千克．
(1)若2021年和2022年脐橙的平均亩产量的年增长率相同，求脐橙平均亩产量的年增长率为多少？
(2)2023年该合作社计划在保证脐橙种植的总成本不变的情况下，增加脐橙的种植面积，经过调查发现，2022年每亩脐橙的种植成本为元，若脐橙的种植面积每增加1亩，每亩脐橙的种植成本将下降元，求2023年该合作社增加脐橙种植面积多少亩，才能保证脐橙种植的总成本不变？
20．在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
参考答案：
1．解：设该制药厂生产成本的年平均下降率为x，根据题意得：
．
故选：B
2．解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得：
，
解得：或，
∴这个两位数为35或53，故D正确．
故选：D．
3．解：设参加活动的同学有x个，根据题意得：
，
故选：D．
4．解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故乙走的步数是．
故选：C．
5．解：依题意有
故选：C．
6．解：设点P运动的时间为ts,
根据题意得：,
∴
∵
∴，
∴
解得或（舍去），
∴点P运动的时间为2s,
故选：B．
7．解：设每件商品售价为元，则每天可销售件，
由题意得，
故选C．
8．解：设年利率为x，
由题意得：，
解得：x＝10%，
即年利率是10%，
故答案为：，10%．
9．解：设桌布铺到桌面上时各边垂下的长度为xm，则桌布的长为（3+2x）m，宽为（2+2x）m，
依题意得（3+2x）（2+2x）＝2×3×2，
解之得x＝或x＝﹣3（舍去），
所以桌布长为3+2x＝4m，宽为2+2x＝3m
故答案为：4，3．
10．解：设此长方体箱子的底面宽为米，则长为米，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
则矩形铁皮的长为（米），宽为（米），
所以张大叔购回这张矩形铁皮的费用为（元），
故答案为：350．
11．解：设每轮传染中平均每个人传染了x人．
依题意得1+x+x（1+x）＝49，
∴＝0，
∴（不合题意，舍去）．
所以，每轮传染中平均一个人传染给6个人．
故答案为：6．
12．解：设每件衬衫应降价x元，
根据题意得：，
，
，
解得，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，
∴，
答：每件衬衫应降价20元；
故答案为：20
13．解：设这两个连续奇数为x，x+2，
根据题意x（x+2）=143，
解得：，（不合题意舍去），
则当x=11时，x+2=13，
∴这两个奇数的和为：．
故答案为：24．
14．解：设DE=x，则BF=2DE，
∵AB=20，AD=15，
∴
∴，
15．解：设个位数字为，则十位数字是．根据题意可得：
，
整理得：．
分解得：，
解得：，．
答：原来的两位数是或．
16．解：（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，
根据题意，可得，
解得，．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得 ，
整理得，，
解得：，，
∵，∴，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
17．（1）证明：平分，，
，
是等腰三角形，，
又，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：解方程，得，，
，，
利用勾股定理，
，
∴ 平方米．
（3）解：在第(2)问的条件下，设、同时出发秒钟后，的面积，
当点在上时，， ，
解得 (大于2，舍去)；
当点在上且点在上时，， ，
整理得，，此时，，
∴原方程无解；
当点在上且点在上时，即， ，
整理得，
解得 (小于3，舍去)．
综上所述：，出发秒或秒钟后，△MON的面积为．
18．解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：
，
解得x=1800．
答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
19．（1）解：设2021年和2022年脐橙平均亩产量的年增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）
答：脐橙平均亩产量的年增长率为．
（2）设增加脐橙种植面积a亩．
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去），．
答：该合作社增加脐橙的种植面积20亩时，才能保证脐橙种植的总成本保持不变．
20．（1）解：设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，
即直线与轴的交点为所求的点，
点为线段的中点，
，
，
对于函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，符合题意，
所以当的值最小时，点坐标为．
（3）解：设点的坐标为，
则，
，
，
由题意，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
②当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
③当时，是等腰三角形，
则，即，
解得，符合题意，
此时点的横坐标为1，
综上，满足条件的点的横坐标为或或1．