福建省漳州市漳州立人学校2022-2023学年高二下学期6月第二次月考数学试题（含解析）

漳州立人学校2022—2023学年（下）高二年第二次月考
数学科试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在一组样本数据，，，，的散点图中，若去掉后，则下列说法正确的为（ ）
A.样本相关系数变小 B.残差平方和变大
C.相关指数变小 D.自变量与因变量的相关程度变强
3.若随机变量（），则有如下结论：（，，），高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）
A.5 B.6 C.12 D.19
4.现随机安排甲、乙箒4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A.事件与相互独立 B.事件与为互斥事件
C. D.
5.已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在正方体中，棱长为2，点，分别为棱、中点，则点到平面的距离为（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，如果直线与的图象无交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的命题是（ ）
A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1
B.，
C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄，表示拟合效果越好
D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.4
10.已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍，该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，下列说法正确的是（ ）
A.参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多
B.参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少
C.若参加调查的学生总人数为300，则能根据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关
D.无论参加调查的学生总人数为多少，都能拫据小概率的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关
11.如图，在棱长为2的正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（ ）
A.与为共面直线 B.平面平面
C.三棱锥的体积为定值 D.与平面所成角的正切值为
12.下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.语文某小组有4个男生，3个女生，现语文老师要从这一组抽3名同学背书，请问抽到男生人数多于女生的概率是______.
14.已知空间三点，，，则点到直线的距离为______.
15.已知（）只有一条过原点的切线，则______.
16.已知和是函数的两个不相等的雾点，则的范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图是某企业2016年至2022年的污水净化量（单位：吨）的折线图.
注：年份代码17分别对应年份2016～2022.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合和的关系，请建立关于的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
（2）请用相关指数说明回归方程预报的效果.
参考数据：，，，；
参考公式：线性回归方程，，；
相关指数：
18.为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9:6:5，用样本的频率估计总体的概率.
（1）从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；
（2）假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取5名学生，设这5名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为，求随机变量的期望.
19.如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）若点，分别在线段，上，且平面，求线段的长度.
20.已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值.
21.某车间购置了三台机器，这种机器每年需要一定次数的维修，现统计了100台这种机器一年内维修的次数，其中每年维修2次的有40台，每年维修3次的有60台，用代表这三台机器每年共需要维修的次数.
（1）以频率估计概率，求的分布列与数学期望；
（2）维修厂家有，两家，假设每次仅维修一台机器，其中厂家单次维修费用是550元，厂家对同一车间的维修情况进行记录，前5次维修费用是每次600元，后续维修费用每次递减100元，从每年的维修费用的期望角度来看，选择哪家厂家维修更加节省？
22.已知函数，为的导数.证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点.
漳州立人学校2022-2023学年（下）高二年第二次月考
参考答案
1.【详解】向量在向量上的投影向量为.选：C.
2.【详解】从散点图分析可知，只有点偏离直线较远，去掉点后，与的线性相关程度变强，
所以相关系数变大，相关指数变大，残差平方和变小，故选：D.
3.【详解】数学成绩近似地服从正态分布，，
，根据正态曲线的对称性知：理论上说在130分以上的概率为，理论上说在130分以上人数约为.故选：B.
4.【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
来件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，
有种不同的安排方法，所以，
因为，事件与不相互独立，故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥車件，事件与可以同时发生，故事件与不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，
所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.故选：
5.对于，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.故选：D.
6.【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，，则，，，
设平面的法向量，则有，
令，则，，所以，
则点到平面的距离为.故选：B.
7.解：函数在上满足，用替换得：
，
令，则，，即
，，
曲线在点处的切线方程是：，即.故选：D.
8.【详解】令，整理得，
构建，原题意等价于与没有交点，
因为，设切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，
若切线过原点，则，解得，此时切线斜率，
可得，解得，所以的取值范固是.故选：A.
9.对于A选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故A选项错误；
对于B选项，由期望和方差的性质可得，，故B选项正确：
对于C选项，由残差图的特征可知，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，所以C正确.
对于D选项，在等式两边取对数得，即，
，解得，D选项正确.故选：BCD.
10.选：AC
11.【详解】对于A：连接，如图所示：
，分别为，的中点，，
在正方体中，，
，而，与为异面直线，故A错误；
对于B：连接，
点，分别为，的中点，，又，
平面，平面，平面，
由选项A得，平面，平面，平面，
又，平面，平面，平面平面，故B正确；
对于C：由选项B得平面，点在线段上运动，
点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，
又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
，，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，，平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，，
，，故D错误.故选：BC.
12.【详解】令，则，当时，，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，
即，故A错误，又，所以，即，故B正确；令，，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，所以在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，即，即，故C正确，D错误，故选：BC.
13.【详解】由题意，抽到男生人数多于女生人数的情况包括：3个男生0个女生，2个男生1个女生两种情况，即，而总情况数为，设事件表示抽到男生人数多于女生，则.故答案为.
14.【详解】根据点到直线的距离公式即可求解.
易知，，则，，
故点到直线的距离为.故答案为：.
15.【详解】依题意，设切点坐标为，因为，
则，所以切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为切线过原点，所以，整理得，
因为（）只有一条过原点的切线，所以方程有且只有一个实数根，
故，即，解得或（舍去），所以.故答案为：.
16.【详解】和是函数两个不相等的零点，不妨设，
，，两式相减得，令，，
，，，
令，，所以，令，，，恒成立，在是单调递增，，恒成立，
在是单调递增，，恒成立；
，，，，故答案为：.
17.【详解】（1）由折线图中的数据得，，
，
所以，所以关于的线性回归方程为，
将2025年对应的代入得，所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨.
（2）因为，
所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的.
18.【详解】（1）记随机抽取1名学生分别来自高一、高二、高三的事件为，，，抽取的1名学生每周运动总时间超过5小时的事件为，于是，，，
，，，
因，
所以该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65.
（2）该校每名学生每周运动总时间为随机变量（单位；小时），，
则有，由（1）知，，于是，
因此，即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，
依题意，，则，所以随机变量的期望为1.5.
19.【详解】（1）过点作，垂足为，因为平面，平面，
所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以直线与平面所成角为，由已知四边形为菱形，，，所以为边长为2的等边三角形，故，因为平面，平面，所以，又，，所以，在中，，，，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；
（2）连接，点为线段的中点，由已知为等边三角形，所以，又，所以，又平面，以点为坐标原点，，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，故，设，则，因为平面，平面，所以，故，所以，所以，所以，所以，所以线段的长度为.
20.【详解】（1）函数的定义域为，，，，，，即函数在单调递减，在单调递增，
所以的极小值是，无极大值；
（2）因为对任意恒成立，即对任意恒成立，
令，则，令（），则，于是得函数在上单调递增，而，，方程在上存在唯一实根，并满足，当时，，即，当时，，即，从而得函数在上単调递减，在上单调递增，即有，
则，所以整数的最大值是3.
21.解（1）以频率估计概率，一台机器每年需要维修2次的概率为，需要维修3次的率为，设为这三台机器每年单个需要维修三次的台数，则，且，
所以，，
，.
所以的分布列为
6 7 8 9
则.
（3）选择厂家每年维修费用的期望为（元），
选择厂家每年维修费用的期望为（元），
因为，所以选择厂家更加节省.
22.（1）由题意知：定义域为：且.
令，，，，
在上单调递减，，在上单调递减，
在上单调递减.
又，，
，使得，
当时，；时，.
即在上单调递增，在上单调递减，则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增，，\在上单调递减，又，为在上的唯一零点.
②当时，在上单调递增，在上单调递减.又，，\在上单调递增.此时，不存在零点.又.，使得，在上单调递增，在上单调递减
又，，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减，在上单调递减
又，，即，
又在上单调递减，在上存在唯一零点
④当时，，，
即在上不存在零点.综上所述：有且仅有2个零点