新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

昌吉回族自治州2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题（本题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“为第三象限角”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知（i为虚数单位），则（ ）
A. B.10 C. D.5
4.下列函数中，既是偶函数又在上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
5.的二项展开式中含项的系数为（ ）
A.240 B.16 C.160 D.60
6.材料：已知三角形三边长分别为a，b，c，则三角形的面积为，其中，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.根据材料解答：已知中，，，则面积的最大值为（ ）
A. B. C.3 D.
7.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知长方体的体积为2，，与相交于点E，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.在第一次全市高二年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65到145之间（满分150分），将数学成绩按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.第七组的频率为0.008
B.该班级数学成绩在的学生人数为8人
C.该班级数学成绩的众数的估计值为100
D.该班级数学成绩的第82百分位数的估计值为115
10.已知圆锥的底面半径为1，其母线长是2，则下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的高是 B.圆锥侧面展开图的圆心角为
C.圆锥的表面积是 D.圆锥的体积是
11.某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有10张奖券，其中有2张写有“中奖字样.假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记A表示甲中奖，B表示乙中奖，则（ ）
A. B.
C. D.
12.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的最大值为
C.关于点对称
D.若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的定义域为______.
14.一只口袋内装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球，则摸出的两只球颜色不同的概率是______.
15.如图，在直三棱柱中，，，P为的中点，则直线PB与所成的角为______.
16.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是______.
四、解答题（本题共70分，第17题10分，18—22题每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）
17.已知向量，.
（1）若，求
（2）若，向量，求与夹角的余弦值.
18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，且，求a和c.
19.根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：
月份x 1 2 3 4 5
不戴头盔人数y 120 105 90 70 65
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的回归直线方程；
（2）交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，试根据小概率值的独立性检验，分析不戴头盔行为是否增加事故伤亡风险.
不戴头盔 戴头盔
伤亡 15 10
不伤亡 25 50
参考数据和公式：，，，，
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
20.已知（实数b为常数）.
（1）当时，求函数的定义域D；
（2）若不等式当时恒成立，求实数b的取值范围.
21.如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，，，E为AD延长线上一点，平面ABCD，，，F是PB中点.
（1）证明：；
（2）若，三棱锥的体积为，求锐二面角的余弦值.
22.某商场举行有奖促销活动，凡7月7日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有3个，白球有3个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减80元.
（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中恰有一人享受6折优惠的概率；
（2）若小勇消费恰好满500元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算.
高二数学答案
一、单选题（本题共8小题每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A D C D D A
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BCD AC ABC ACD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
四、解答题（本题共70分，第17题10分，18-22题每题12分）
17.【详解】（1）因为，所以，
即，解得，
所以，
故.……………………………………………………………………………………5分
（2）因为，所以，解得，则.
因为，，
∴.
即与夹角的余弦值为.…………………………………………………………………10分
18.【详解】（1）中，∵
由正弦定理得：，
∴，，
由余弦定理得，，
在三角形中，∵，∴.……………………………………………………6分
（2）∵，由正弦定理得：，
又，∴，
∴，..…………………………………………………….…………………………12分
19.【详解】（1）由题意知，，，
，
所以回归直线方程为………………………………….………………6分
（2）零假设不带头盔行为与事故伤亡无关
………………………………….…………11分
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为不带头盔行为与事故伤亡有关，此推断犯错误的概率不超过0.05.………………………………….…………………………………12分
20.【详解】（1）当时，，
则或，解之得或，
即………………………………….………………………………6分
（2）当时，，为单调递增函数，
故，
令，则，
故….………………………………9分
由对勾函数的性质可知在上单调递增，上单调递减，
故，所以，，
即b的取值范围为；….………………………………….…………12分
21.【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴.
∵，，∴.
又，PE，平面PAD
∴平面PAD.
∵平面PAD.
∴
取PA的中点M，连接EM，FM，∵F为PB的中点，
∴.
∴.
∵，
∴，∴，
∴D为AE的中点，∴，∴.
又，EM，平面EFM
∴平面EFM.
∵平面EFM，∴.….………………………………….…………6分
（2）解：∵，∴.
∴，且，∵，∴四边形ABCE为矩形，
∴平面PAE.
∴，解得，…….…………8分
以E为原点，分别以，，方向为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，∴，，
易知是平面DCB的一个法向量.
设平面FDC的一个法向量为，
∴，即，不妨取，得
∴.
因为二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为.….………………………………….…………12分
22.【详解1）由数意，设顾客享受到6折优惠为事件A，则.
∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为
.……………………….…………5分
（2）若小勇选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为300，400，500.
则，，.
故X的分布列为
X 300 400 500
P
∴（元）.
若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z元，则.
由已知，可得Y～，故，
∴（元）
由上知：，故小勇选择方案一更划算.……………………….…………12分