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1.4.1 充分条件与必要条件（分层练习）
【练基础】
1.（多选）一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根的充分不必要条件是( )
A．n＝4 B．n＝－5
C．n＝－1 D．n＝－12
【解析】设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根，则满足当x＝0时，y<0，即n<0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根的充分不必要条件可以为B，C，D.
故选BCD.
2.（多选）下列说法中正确的是( )
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D.“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件
【解析】由A∩B＝B，得B A，所以“B＝ ”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程|x|＝1，得x＝±1，则“|x|＝1”是“x＝1”的必要条件，D错误.
故选ABC.
3. x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件？( )
A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0
C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0
【解析】xy≠0，则x≠0且y≠0，所以x2＋y2>0，所以x2＋y2>0是xy≠0的必要条件.
故选A.
4. 俗语云：“好人有好报。”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断
【解析】这句话的意思中，“好人” “有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件.
故选A.
5. 已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则“m＝1”是“A B”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
【解析】若A B，则有m∈B且m≠3，
所以m＝1或m＝5，
故当m＝1时，有A B，而A B时，不一定有m＝1，故“m＝1”是“A B”的充分条件.
故选A.
6. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
【解析】x≥2且y≥2可以推出x2＋y2≥4，但x＝1且y＝3满足x2＋y2≥4但不满足x≥2且y≥2.
故选A.
7. 下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
【解析】命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；
语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；
选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确.
故选D.
8.（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：a是无理数，q：a2是无理数
B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C.p：x>2，q：x≥1
D.p：a＝b，q：ac2＝bc2
【解析】A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；
B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；
C中，x>2 x≥1，所以p是q的充分条件；
D中，当a＝b时，ac2＝bc2，所以p是q的充分条件.
故选BCD.
【练综合】
1. “a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的________条件．
【解析】若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，
但“a≤”不能推出“a<”，
即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．
2. 已知p：－1
【解析】由p：－12.
3. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．|a|＞|b|
【解析】由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1 a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5 4≥3.5＋1，故a＞ba≥b＋1，故A正确．
故选A.
4. 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}。命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围。
【解析】由已知可得A＝
＝，B＝{x|x≥－2m}.
因为q是p的必要条件，
所以p q，所以A B，
所以－2m≤－，所以m≥，
即实数m的取值范围是.
5. 已知M＝{x|a－1【解析】因为N是M的必要条件，所以M N.
于是从而可得－2≤a≤7.
故实数a的取值范围为{a|－2≤a≤7}.
6. 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝。
【解析】(1)因为a＋b＝0推不出a2＋b2＝0，而a2＋b2＝0 a＋b＝0，所以p是q的必要条件.
(2)因为四边形的对角线相等推不出四边形是矩形，而四边形是矩形 四边形的对角线相等，所以p是q的必要条件.
(3)因为x＝1或x＝2 x－1＝，x－1＝ x＝1或x＝2，所以p既是q的充分条件又是q的必要条件.
【练思维】
1. 若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】充分性：若“a>0且b2－4ac<0”，则“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”成立；必要性：若“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”，则“a＝b＝0，c>0或a>0且b2－4ac<0”.故选A.
2.已知集合A＝{x∈R|－1A.{m|m≥2} B.{m|m≤2}
C.{m|m>2} D.{m|－2【解析】因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A B，所以3≤m＋1，即m≥2.
故选A.
3. (多选)下列式子：①－2A.① B.② C.③ D.④
【解析】∵x2<4，∴－2故选AB.
4. 已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________.
【解析】∵p是q的必要条件，∴q p，
∴解得a≤－9.
【练创新】
1. 若“－1≤x≤1”是“不等式|x－m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是________.
【解析】因为|x－m|≤2，所以m－2≤x≤m＋2.记A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}.又因为“－1≤x≤1”是“不等式|x－m|≤2”成立的充分条件，所以A B，则解得－1≤m≤1，即实数m的取值范围是{m|－1≤m≤1}.
2. 是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由.
【解析】记A＝{x|x>2，或x<－1}，由4x＋p<0，得x<－，记B＝.
由题意得B A，则－≤－1，即p≥4，此时x<－≤－1 x>2或x<－1，故当p≥4时，“4x＋p<0”是“x>2或－1”.
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1.4.1 充分条件与必要条件（分层练习）
【练基础】
1.（多选）一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根的充分不必要条件是( )
A．n＝4 B．n＝－5
C．n＝－1 D．n＝－12
2.（多选）下列说法中正确的是( )
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D.“|x|＝1”是“x＝1”的充分条件
3. x，y∈R，下列各式中哪个是“xy≠0”的必要条件？( )
A．x＋y＝0 B．x2＋y2>0
C．x－y＝0 D．x3＋y3≠0
4. 俗语云：“好人有好报。”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分也不必要条件
D.无法判断
5. 已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则“m＝1”是“A B”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件
6. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
7. 下列说法正确的是( )
A.命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
8.（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A.p：a是无理数，q：a2是无理数
B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C.p：x>2，q：x≥1
D.p：a＝b，q：ac2＝bc2
【练综合】
1. “a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的________条件．
2. 已知p：－13. 下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．|a|＞|b|
4. 已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}。命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围.
5. 已知M＝{x|a－16. 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝。
【练思维】
1. 若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知集合A＝{x∈R|－1A.{m|m≥2} B.{m|m≤2}
C.{m|m>2} D.{m|－23. (多选)下列式子：①－2A.① B.② C.③ D.④
4. 已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________.
【练创新】
1. 若“－1≤x≤1”是“不等式|x－m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是________.
2. 是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2或x<－1”的充分条件？若存在，求出p的取值范围；若不存在，说明理由.
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