北京市通州区2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试卷（PDF版含答案）

通州区 2022-2023 学年第二学期高二年级期末质量检测
数 学 试 卷 2023年 7月
本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答
无效。考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
（1）二项式 (x 2)5 的展开式的第3项为
（A）40x2 （B）80x2 （C）40x3 （D）80x3
（2）4 名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为
（A）12 （B）18 （C） 24 （D） 48
（3）已知函数 f (x) e x，则 f (x) 的导函数 f (x)
（ ） e
x
（ ） ex （ ）e x
x
A B C （D）e
（4）已知函数 f (x) x ln x ，则 f (x) 的单调递减区间为
1 1 1
（A） ( , ) （B） (0, ) （C） (0, ) （D） ( , )
e e e
1
（5）已知离散型随机变量 X 的分布列为P(X i) （ i 1， 2 ，3， 4 ），则 P(X≤2)
4
1 1 3
（A） （B） （C） （D）1
4 2 4
（6）将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4 次，恰好出现3次正面朝上的概率为
1 1 1 1
（A） （B） （C） （D）
16 12 8 4
2
（7）已知随机变量 X 服从正态分布N 2, ，且P 0 X 2 0.2，则P X 4
（A）0.3 （B）0.4 （C）0.6 （D）0.8
高二数学试卷 第 1页（共 4页）
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（8）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不命中得0 分．已知某篮球运动员罚
球命中的概率为0.8，设其罚球一次的得分为 X，则
（A）E(X ) 0.5， D(X ) 0.20 （B）E(X ) 0.5，D(X ) 0.25
（C）E(X ) 0.8， D(X ) 0.12 （D）E(X ) 0.8，D(X ) 0.16
（9）已知函数 f (x) 的导函数 f (x)图象如图所示， 给出下列四个结论：
① f (x) 在区间 ( , 3) 上单调递增；
② f (x) 在区间 (0,2)上单调递减；
③ f (x) 在 x 0处取得最大值；
④ f (x) 在 x 2处取得极小值.
则其中结论一定正确的个数是
（A）1 （B） 2 （C）3 （D） 4
（ 210）已知函数 f (x) x x alnx为其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为
1 1 3 1
（A）[ , ) （B）[ , ) （C）[ , ) （D）[ , )
8 4 8 2
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）在2 道代数题和3道几何题中，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，设 A “第一
次抽到代数题”，B “第二次抽到几何题”，则P(AB) ；P(B | A) ．
1 8
（12）二项式 (x ) 的展开式中常数项为 ．
x
x 1
（13）已知函数 f x 2 ，则 f (x) 的零点是 ；极值点是 ． x
（14）已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该
三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为 ．（用数字作答）
高二数学试卷 第 2页（共 4页）
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x2ex , x<1

（15）已知函数 f x ex ，给出下列四个结论：
, x 12
x
①函数 f (x) 存在4 个极值点；
5 1 3
② f ( ) f ( ) f ( )；
2 2 2
③若点P(x1, y1)(x1 1)，Q(x2 , y2)(x2≥1)为函数 f (x) 图象上的两点，则
4e e2
f (x ) f (x ) ； 1 2
4
④若关于 x的方程[ f (x)]2 2af (x) 0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
2 e2 e
, , 2 .
e 8 2
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 12 分）
1
f x x3
1
已知函数 x
2 2x 1.
3 2
（Ⅰ）求 f (x)的单调区间及极值；
（Ⅱ）求 f (x)在区间[ 3,0]上的最大值和最小值.
（17）（本小题 12 分）
袋中有4 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．
（Ⅰ）若每次抽取后不放回，求连续抽取3次至少取到1个黑球的概率；
（Ⅱ）若每次抽取后放回，求连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率.
高二数学试卷 第 3页（共 4页）
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（18）（本小题 14 分）
某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男 女生中各随机抽取
20 人作为样本，把他们的测试数据整理如下表，规定：数据 60，体质健康为合格.
等级 数据范围 男生人数 女生人数
优秀 [90,100] 4 6
良好 [80,90) 6 6
及格 [60,80) 7 6
不及格 60 以下 3 2
（Ⅰ）估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率；
（Ⅱ）从样本等级为优秀的学生中随机抽取3人进行再测试，设抽到的女生数为 X ，求 X 的分布列和
数学期望；
（Ⅲ）从该校全体男生中随机抽取2 人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2 人健康等级
是优秀的概率.
（19）（本小题 15 分）
已知函数 f (x) x2 mx 1， g(x) x ln x 1．
（Ⅰ）若 f (x)在区间 ( 2,1) 上恰有一个极值点，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）求 g(x)的零点个数；
（Ⅲ）若m 1，求证：对于任意 x (0, )，恒有 f (x)≥g(x) .
（20）（本小题 16 分）
已知函数 f (x) a ln x bx，a,b R .
（Ⅰ）当a 1，b 1时，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）当a 0，b 2时，求 f (x) 在区间 1,2 上的最大值；
（Ⅲ）当a 1时，设 g(x) f (x) sin x ，判断 g(x) 在 x (0,π]上是否存在极值. 若存在，指出是
极大值还是极小值；若不存在，说明理由.
高二数学试卷 第 4页（共 4页）
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（21）（本小题 16 分）
为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织
学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，
答对得2 分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分.学生
3
甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为 ，且每次答题结果互不影响.
4
（Ⅰ）求学生甲前三次答题得分之和为4 分的概率；

（Ⅱ）设学生甲第 i 次答题所得分数 X i (i N )的数学期望为E(X i ) .
（i）求E(X1) ， E(X 2 )，E(X3) ；
（ii）写出E(X i 1)与E(X ) (i≥2)i 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）；
（iii）若E(X i ) 10，求 i 的最小值.
高二数学试卷 第 5页（共 4页）
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数学参考答案及评分标准 2023年 7月
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题（共 10小题，每小题 4分，共 40分）
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
答案 C C A B B D A D B A
第二部分（非选择题 共 110分）
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25分）
3 3
（11） ； （12） 70（13） x 1； x 2 （14） 240 （15）①③④
10 4
三、解答题（共 6小题，共 85分）
（16）（本小题 12 分）
1 1
解：（Ⅰ）因为 f x x3 x2 2x 1，定义域为 ( , )，
3 2
所以 f (x) x2 x 2 .
令 f (x) 0，解得 x 2，或 x 1 .
当 x 变化时， f (x)， f (x) 的变化情况如下表所示.
x ( , 2) 2 ( 2,1) 1 (1, )
f (x) 0
0
13 1
f x
单调递增 单调递减 单调递增 3 6
13
所以，当 x 2时， f (x) 有极大值，且极大值为 f ( 2) ；
3
1
当 x 1时， f (x) 有极小值，且极小值为 f (1) . ……………………8 分
6
13
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x) 在区间[ 3,0]上有极大值为 f ( 2) .
3
5
因为 f ( 3) ， f (0) 1.
2
高二数学参考答案及评分标准 第 1页（共 6页）
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13
所以 f (x) 在区间[ 3,0]上的最大值为 ，最小值为1 . ……………………12 分
3
（17）（本小题 12 分）
解：（Ⅰ）设抽取3次，黑球的个数为 X ，
因为每次抽取后不放回，结果不独立，所以 X 服从超几何分布.
所以连续抽取3次至少取到1个黑球的概率为
P(X≥1) P(X 1) P(X 2)
C2 1 1 2
4
C2 C4C2 3 1 4 . ……………………6
3 分 C6 C
3
6 5 5 5
（Ⅱ）设抽取3次，黑球的个数为Y ，
因为每次抽取后放回，结果独立，所以Y 服从二项分布.
因为袋中有4 个白球、2 个黑球，
2 1
所以每次抽取后放回，连续抽取3次每次抽取黑球的概率为 = .
6 3
所以连续抽取3次恰好取到1个黑球的概率为
P(Y 1) C1
1 1 2 4
3 ( ) (1 ) . ……………………12 分
3 3 9
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由表可知，样本中合格的学生数为： 4 6 7 6 6 6 35，样本总数为：20 20 40，
35 7
所以估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率 P . ……………………3 分
40 8
（Ⅱ）依题意 X 的可能取值为 0 ，1， 2 ，3 .
C3 C2 14 1 4C6 3
所以P X 0 ， P X 1 ，
C3 30 C310 10 10
C1C2 C31 1
P X 2 4 6 ， P X 3 6 .
C3

10 2 C
3
10 6
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 3 1 1
P
30 10 2 6
1 3 1 1 9
所以E(X ) 0 1 2 3 . ……………………9 分
30 10 2 6 5
高二数学参考答案及评分标准 第 2页（共 6页）
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（Ⅲ）设“该校高一年级男生体质健康等级是优秀”为事件 A，“该校高一年级女生体质健康等级是优
秀”为事件B ，
4 1 6 3
所以P(A) ， P(B) .
20 5 20 10
1 1 3 7
所以随机抽取的3人中，2 人健康等级是优秀的为男生的概率为 (1 ) ；
5 5 10 250
随机抽取的3人中，2 人健康等级是优秀的为 1 个男生 1 个女生的概率为
1 1 3 1 1 3 12
(1 ) (1 ) .
5 5 10 5 5 10 125
7 12 31
所以估计这3人中恰有2 人健康等级是优秀的概率为P . ……………………14 分
250 125 250
（19）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）因为函数 f (x) x2 mx 1，
m
所以 f (x) 的对称轴为 x .
2
因为 f (x) 在区间 ( 2,1) 上恰有一个极值点，
m
所以 2 1. 所以 4 m 2 .
2
所以实数m 的取值范围是 ( 4,2) . ……………………4 分
（Ⅱ）因为 g(x) x ln x 1，定义域为 (0, )，
所以 g (x) ln x 1.
1 1
令 g (x) 0，即 ln x 1 0，解得 x ；令 g (x) 0，即 ln x 1 0，解得 x .
e e
1 1
所以 g(x)在区间 (0, )上单调递减，在区间 ( , )上单调递增.
e e
1
当0 x 时， ln x 1，所以 x ln x 1 0 .
e
1
所以 g(x)在 (0, )上没有零点.
e
1 1
因为 g( ) 1 0， g(e) e 1 0 .
e e
1
所以 g(x)在区间 ( , )上存在1个零点.
e
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所以 g(x)的零点个数为1． ……………………10 分
（Ⅲ）因为m 1，所以 f (x) x2 x 1
所以要证 f (x)≥g(x)，即证 x2 x 1≥x ln x 1，只需证 x 1≥ln x .
设 g(x) x 1 ln x， x (0, )，
1 x 1
所以 g (x) 1 .
x x
令 g (x) 0，得 x 1；令 g (x) 0，得 x 1 .
所以 g(x)在区间 (0,1)上单调递减，在区间 (1, )上单调递增.
所以 g(x)在区间上的最小值为 g(1) 0 .
所以 g(x)≥0，即 x 1≥ln x .
所以对于任意 x (0, )，恒有 f (x)≥g(x) . ……………………15 分
（20）（本小题 16 分）
解：（Ⅰ）因为a 1，b 1，所以 f (x) ln x x .
1
所以 f (x) 1 .
x
所以 f (1) 1， f (1) 2 .
所以曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y 1 2(x 1)，即2x y 1 0 .
……………………3 分
（Ⅱ）因为b 2，所以 f (x) a ln x 2x ，定义域为 (0, ) .
a 2x a
所以 f (x) 2 .
x x
a a
令 f (x) 0，即 2x a 0，得 x ；令 f (x) 0，即 2x a 0，得 x .
2 2
因为a 0，
a a
所以 f (x) 在区间 (0, )上单调递增，在区间 ( , )上单调递减.
2 2
a
①当 ≤1，即a≤2时， f (x) 在区间 1,2 上单调递减.
2
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所以 f x 在区间 1,2 上的最大值 f (1) 2 .
a a a
②当1 2，即2 a 4时， f (x) 在区间 (1, )上单调递增，在区间 ( ,2)上单调递减.
2 2 2
a a
所以 f x 在区间 1,2 上的最大值 f ( ) a ln a .
2 2
a
③当 ≥2 ，即a≥4时， f (x) 在区间 1,2 上单调递增.
2
所以 f x 在区间 1,2 上的最大值 f (2) a ln 2 4 . ……………………9 分
（Ⅲ）因为a 1， g(x) f (x) sin x ，
所以 g(x) ln x bx sin x ， x (0,π]
1
所以 g (x) b cos x .
x
1 1
令 h x b cos x ，所以h x sin x .
x x2
1
因为 x (0,π]，所以h (x) sin x 0 .
x2
所以 g (x)在区间 (0,π]上单调递减.
1
当 x 0时， g (x) ，又 g (π) a 1 .
π
1 1
①当 g (π) a 1≥0，即a≥1 时， g (x)≥0，
π π
所以 g(x)在 x (0,π]上单调递增，
所以 g(x)在 x (0,π]上无极值.
1 1
②当 g (π) a 1 0，即a 1 时， g (x)在 x (0,π)上有唯一零点 x0 .
π π
所以当 x (0, x )时， g 0 (x) 0；当 x (x0 ,π)时， g (x) 0 .
g(x)在 (0, x0 ) 上单调递增；在 (x0 ,π) 上单调递减.
所以 x x0是函数 g(x)的一个极大值点，且无极小值.
1
综上所述，当a≥1 时，函数 g(x) 无极值；
π
1
当 a 1 时，函数 g(x)有极大值，但无极小值. ……………………16 分
π
（21）（本小题 16 分）
解：（Ⅰ）学生甲前三次答题得分之和为4 分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率.
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设“学生甲前三次答题得分之和为4 分”为事件 A，
3 3
P(A) C1 (1 )2
9
所以 3 . ……………………3 分
4 4 64
3 1
（Ⅱ）（i）学生甲第1次答题得2 分、1分的概率分别为 ， ，
4 4
3 1 7
所以E(X ) 2 1 . 1
4 4 4
3 3 1 3 1
甲第2 次答题得4 分、2 分、1分的概率分别为 ， ， .
4 4 4 4 4
3 3 1 3 1 23
所以E(X 2 ) 4 2 1 .
4 4 4 4 4 8
3 3 3 1 3 3 1 3 1
甲第3次答题得8分，4 分、2 分、1分的概率分别为 ， ， ， .
4 4 4 4 4 4 4 4 4
3 3 3 1 3 3 1 3 1 73
所以E(X3) 8 4 2 1 . ……………………7 分
4 4 4 4 4 4 4 4 4 16
3 1
（ii）所以E(X i 1)与E(X i )满足的等量关系式是：E(X

i ) E(X i 1) ， i N ， i≥2 .
2 4
……………………10 分
7 3 1
（iii）由（i）知E(X1) ，由（ii）知E(X i ) E(X ) ， i

i 1 N ， i≥2 .
4 2 4
1 3 1
所以E(X i ) (E(X i 1) )
2 2 2
1 9 3
所以数列{E(X i ) }以 为首项，公比为 的等比数列.
2 4 2
1 9 3 3
E(X ) ( )i 1 E(X ) ( )i 1
1
所以 i ，即 i .
2 4 2 2 2
3
E(X ) 10 ( )i 1
1
由 i ，得 10 .
2 2
3
所以 ( )
i 7 .
2
3 81 3 243
因为 ( )
4 7 ， ( )
5 7，
2 16 2 32
所以 i的最小值是5 . ……………………16 分
高二数学参考答案及评分标准 第 6页（共 6页）
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