北京市朝阳区2022~2023学年度第二学期期末质量检测
高二数学参考答案 2023.7
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B
（6）A （7）D （8）B （9）C （10）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（11） （12） （13），
（14） （15）（答案不唯一） （16）①③④
三、解答题（共5小题，共70分）
（17）（共13分）
解：选①③．
（Ⅰ）因为，
由，得．
因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以.
所以.
因为，所以． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．
．
因为，所以.
所以当，即时，
在区间上取得最大值． 13分
选②③．
（Ⅰ）因为，
由的最小值为，得．
因为的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以.
所以.
因为，所以． 6分
（Ⅱ）同选①③．
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）理赔年龄的中位数在第4组，理赔年龄的第90百分位数在第5组． 4分
（Ⅱ）用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取1人超过40岁的概率为．
的所有可能取值为．
．
.
.
．
所以随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望
． 11分
（Ⅲ）不正确．
比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，
投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，
这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大．
用区间的右端点估计理赔的平均年龄为
用区间的左端点估计投保的平均年龄为
因为32.13>26.62，所以说法不正确． 14分
（19）（共15分）
解：函数的定义域为，则．
（Ⅰ）当时，，所以．
因为，所以．
所以曲线在点处的切线方程为，
即． 4分
（Ⅱ）因为是的一个极值点，所以．解得．
所以，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以当时，是的极大值点．
此时的单调递增区间为． 9分
（Ⅲ）①当时，
因为，，
所以在区间上单调递增．
此时．
若，则，不合题意．
②当，即时，
令，解得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
此时．
若，则，符合题意．
综上，当时，在区间上的最大值为． 15分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，设，则．
令，解得．
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增．
所以．
所以成立． 5分
（Ⅱ）由已知得．
设切点为，
则解得
所以，．
要证，
即证，
即证，
即证．
令，原不等式等价于，即．
设，则．
所以在区间上单调递增．
所以．
所以成立．
所以对任意，都有． 13分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）的导出数列为，
的导出数列为． 4分
（Ⅱ）不存在，理由如下：
设，
则，，，
，
，
．
因为，
所以是奇数，
是偶数，
是奇数，
是偶数，
是奇数．
因为共三个奇数，
所以是奇数．
所以不可能为0． 9分
（Ⅲ）必要性：
若，
则，
．
充分性：下面用反证法证明．
假设存在，使得．
若，令．
若，令．
因为，
所以．
设中有项比小，则有项比大，
所以．
设中有项比小，则有项比大，
所以．
因为且，所以，
所以，矛盾．
所以． 15分北京市朝阳区2022~2023学年度第二学期期末质量检测
高二数学 2023.7
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题50分和非选择题100分
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，集合，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知，且，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（4）从集合中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知，，，则
（A） （B） （C） （D）
（6）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为
（A） （B） （C） （D）
（8）已知函数，则下列结论正确的是
（A）函数的一个周期为
（B）函数的一个零点为
（C）的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
（D）的图象关于直线对称
（9）良好生态环境既是自然财富，也是经济财富．为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，为常数且，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留数量约为原污染物数量的
（A） （B） （C） （D）
（10）已知定义在R上的函数满足：
①；
②；
③当时，
则函数在区间上的零点个数为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）二项式的展开式中的常数项是________．（用数字作答）
（12）某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200，1000，800，为迎接运动会的到来，按照各年级人数所占比例进行分层抽样，选出30名志愿者，则高二年级应选出的人数为________．
（13）当时，函数的最小值为________，此时________．
（14）已知，则关于的不等式的解集是________．
（15）若函数的图象在区间上恰有两个极值点，则满足条件的实数的一个取值为________．
（16）已知集合为非空数集，且同时满足下列条件：
（ⅰ）；
（ⅱ）对任意的，任意的，都有；
（ⅲ）对任意的且，都有．
给出下列四个结论：
①；
②；
③对任意的，都有；
④对任意的，都有．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题13分）
设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为己知，使函数唯一确定．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设函数，求在区间上的最大值．
条件①：；
条件②：的最小值为；
条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
（18）（本小题14分）
(
频率
)某保险公司2022年的医疗险理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：
(
年龄分组
)
注：第1组中的数据13%表示0-5岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为13%；
24%表示0-5岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为24%．其它组类似.
（Ⅰ）根据上述数据，估计理赔年龄的中位数和第90百分位数分别在第几组，直接写出结论；
（Ⅱ）用频率估计概率，从2022年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取3人，其中超过40岁的人数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）根据上述数据，有人认为“该公司2022年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由．
（19）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若是的一个极值点，求的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在，使得在区间上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（20）（本小题13分）
已知函数，．
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．
（21）（本小题15分）
若有穷整数数列满足（），且各项均不相同，则称为数列．对数列，设，，则称数列为数列的导出数列．
（Ⅰ）分别写出数列与的导出数列；
（Ⅱ）是否存在数列使得其导出数列的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的数列；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）设数列与的导出数列分别为与，求证：的充分必要条件是．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
