湖北省武汉市江岸区2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

武汉市江岸区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
力.已知等比数列中，，，则（ ）
A.9 B. C.3 D.
2.已知随机变量的分布列为，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则展开式中含项的系数为（ ）
A.21 B. C.15 D.
4.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，若质点移动8次之后又回到原点，则该质点移动的轨迹有（ ）种.
A.20 B.50 C.70 D.90
5.甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，则这6人的名次排列可能有（ ）种不同的情况
A.348 B.356 C.368 D.384
6某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量（颗）之间的关系，采集到5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（ ）
A.相关系数变小
B.决定系数变小
C.残差平方和变大
D.解释变量与预报变量的相关性变强
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.现有两种卡片和若干（两种卡片大小形状完全一致，只有上面的字母不同），安排部分同学每人随机抽取两张卡片，则抽出的三种情况，，的近似比为∶2∶1，如果任选两名抽取了卡片的同学，并从这两名同学手中各抽取1张卡片，那么抽到的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强
B.已知由一组样本数据得到的回归直线方程为，且，则这组样本数据中一定有
C.在回归分析中，相关指数越大，说明回归效果越好
D.已知，若根据列联表得到的观测值为4.1，则根据小概率值的独立性检验认为两个分类变量有关
10.已知当随机变量时，随机变量也服从正态分布.若，，则下列结论正确的是（ ）
A.为定值 B.
C.当减小，增大时，减 D.当，都增大时，增大
11.设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.若，则
12.设随机变量，，则下列说法正确的是（ ）
A.，服从二项分布
B.
C.当且仅当时，取最大值
D.使成立的实数对共有11对
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数满足，则，则________.
14.的展开式中，含项的系数是________（用数字表示）.
15.甲、乙两人向同一目标各射击1次，甲命中目标的概率为0.4，乙命中目标的概率为0.5，且甲、乙射击相互独立，已知目标至少被命中1次，则该目标是被甲命中的概率为________.
16.设数列为等比数列，且每项都大于1，则值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）已知：，求；
（2）解不等式：，其中.
18.（12分）
2023年5月30日，神州十六号载人飞船在长征二号F运载火箭的托举下，在酒泉卫星发射中心成功发射，神州十六号载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功.某校组织学生观看了火箭发射的全过程，并对其中100名学生进行了“航空航天”问卷调查，其中被调查的男女学生比例为3∶2.近两个月关注“航空航天”信息达6次及以上者为航天关注者，未达到6次的为非航天关注者，得到如下等高条形图.
航天关注者 非航天关注者 合计
男
女
合计
（1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“航天关注者”与性别有关联？
（2）从100名学生中按男女比例进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.记被抽取的2名学生中男生的人数为随机变量，求的数学期望和方差.
附（其中）.
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.（12分）已知各项均为正数的数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和.
20.（12分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：.
21.（12分）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表为该地区近7年新建社区养老机构的数量对照表.
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码（x） 1 2 3 4 5 6 7
新建社区养老机构（y）
（1）已知两个变量与之间的样本相关系数，请求出关于的经验回归方程，并据此估计2023年即时，该地区新建社区养老机构的数量；（结果按四舍五入取整数）
（2）若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有54人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？（结果按四舍五入取整数）
参考公式与数据：
①，
②若随机变量，则，，
③，
22.（12分）某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.
令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（1）求随机变量的分布列；
（2）若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.
令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（ⅰ）求随机变量的分布列
（ⅱ）证明.
武汉市江岸区2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试卷参考答案
一、选择题：
1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B
二、选择题：
9.ACD 10.AB 11.ACD 12.ABD
三、填空题：
13. 14.454 15. 16.2023
四、解答题：
17.（1）
（2）由题意得，即
，∴.∵且∴
∴不等式的解集为
18.解：（1）依题意得列联表如下：
航天关注者 非航天关注者 合计
男 48 12 60
女 24 16 40
合计 72 28 100
零假设：假设“航天达人”与性别无关，
根据表中的数据计算得到
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，因此“航天关注者”与性别无关.
（2）
0 1 2
19.解：（1）
当时，
∴
又，，∴
当时，
∴为奇数时，
当时，，
∴为偶数时，
∴
（2）数列的前项和
20.解：（1） ∴，
切点 ∴切线方程是：
（2），
则
令，则
∴在上单调递减，在上单调递增.
∴，在上单调递增.
∴，
即时，成立.
21.解：，
∴，
∴
∵ ∴
∴
∴回归方程，
当时.
（2）由题可知，
该地参与社区养老的老人有（人）
该地参与社区养老的老人约有2523人.
22.解：（1），，
因此的分布列为
1 2 3 4
（2）（i）时，第人必答对第二题，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
当时，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
的分布列为：
1 2 3 …
…
（ⅰ）.
，
故，
求得，
故，
∴，①
，②
②－①，
故.