2023 年春季期末联考高二年数学科试卷
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．集合 A 1,2，3 ,B x x2 4 0 ，则 A B （ ）
A． 1,2 B． 1,3 C． 2,3 D． 1,2，3
2．复数 i i 2 的虚部为（ ）
A． 2i B． 1 C．2 D． 2
3． 1 2x 6 展开式中含 x2项的系数为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．120
4．甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，其中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女，若从甲校和
乙校报名的教师中各任选 1名，则选出的 2 名教师性别相同的概率是（ ）
2 4 5 2
A． B． C． D．
9 9 9 3
2 1
5．曲线 y x 在点 P 1,2 处的切线的倾斜角为（ ）
x
2 3
A． B． C． D.
4 3 3 4
6．小华为了研究数学名次和物理名次的相关关系，记录了本班五名
同学的数学和物理的名次，如图，后来发现第四名同学的数据记录
有误，那么去掉数据D 3,10 后，下列说法错．误．的是（ ）
A．样本相关系数 r变大 B．残差平方和变大
C． R2变大 D．解释变量 x与响应变量 y的相关程度变强
7．若函数 f x x3 ax2 bx a2在 x 1处有极值 10，则b a =
（ ）
A． 15 B． 6 C．6 D．15
2x
8．已知函数 f x e , g x ln x 1 ，分别与直线 y a交于点 A,B，则 AB 的最小
2
值为（ ）
A．1 1 ln 2 1B．1 ln 2 1C． 2 ln 2 1D． 2 ln 2
2 2 2 2
高二年数学科试卷第 1页，共 6 页
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
二 多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2 分.
9．设向量 a 1, x ，b x,9 ，若 a∥b，则 x的取值可能是（ ）
A． 3 B．0 C．3 D．5
10．下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是（ ）
A．相关变量 x, y的线性回归方程为 y 0.2x m，若样本点中心为 m,1.6 ，则m 2
B．对于独立性检验， 2的值越大，说明两事件相关程度越大
C．回归分析是对两个变量确定性关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确
定性关系
D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
11．关 1 2x 2023 a a x a x2 a x20230 1 2 2023 x R ，则（ ）
A． a0 1 B． a1 a2 a2023 3
2023
a 8C 3 2023C． 3 2023 D． a1 a2 a3 a4 a2023 1 3
12．已知 A,B是两个事件，且 P A 0,P B 0，则下列结论一定成立的是（ ）．
A． P AB P B
B．若 P B A P B 1，则 A与 B独立
C．若 A与 B独立，且 P A 0.4，则 P AB 0.6
D．若 A与 B 4 5 4独立，且 P AB ,P B ，则 P AB
9 9 5
三 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．若 f (x) a
2
x 为奇函数，则 f (1) _______.2 1
14．某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门
或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有______种（用数字作答）．
15．某餐馆在 A网站有 200 条评价，好评率为90%，在 B网站有 100 条评价，好评率为
87%．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为
16．已知函数 f x sin 2x 2cos x，则 f x 的最大值为______.
高二年数学科试卷第 2页，共 6 页
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四 解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．已知函数 f x x3 2x2 ax 1，且 f 1 1.
(1)求 f x 的解析式；
(2)求曲线 f x 在 x 1处的切线方程.
18．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，
回答不正确得 100．假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相
互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望；
(2)求这名同学总得分不为负分（即 0）的概率．
19．一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选 40 只小白鼠，随机地将其中 20 只分配
到实验组，另外 20 只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的
小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)设 X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 X 的分布列和数学期望；
高二年数学科试卷第 3页，共 6 页
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
（2）（i）求 40 只小鼠体重的增加量的中位数 m，再分别统计两样本中小于 m与不小于的
数据的个数，完成如下列联表：
m m
对照组
实验组
（ii）根据（i）中的列联表，依据小概率值 0.05的独立性检验，能否认为小白鼠在高
浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
n ad bc 2
附: 2 ，其中 n a b c d .
a b c d a c b d
0.100 0.050 0.010
x 2.706 3.841 6.635
20．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某
高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽
取了该较 10 名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩 xi（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
10
2
记这 10 名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 x， s2，经计算 x1 x 1690，
i 1
10
x2i 33050．
i 1
(1)求 x；
高二年数学科试卷第 4页，共 6 页
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
2
(2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布 N , ，用 x， s2的值分别作为 ，
2的近似值，若监测中心计划从全市抽查 100 名高中生进行体质测试，记这 100 名高中生
的体质测试成绩恰好落在区间 30,82 的人数为Y ，求Y 的数学期望 E Y ．
N , 2附：若 ，则 P( ) 0.6827， P( 2 2 ) 0.9545 ，
P( 3 3 ) 0.9973．
21.已知函数 f x 1 ax2 a 1 x ln x，a R．
2
(1)讨论 f x 的单调性；
3
(2)当a 0时，证明 f x 2 ．
2a
22．经观测，长江中某鱼类的产卵数 y与温度 x有关，现将收集到的温度 xi和产卵数
yi i 1,2, ,10 的 10 组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.
10 10 10 10 10
xi ti yi zi x 2i x
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
360 54.5 1360 44 384
10 10 10 10
t 2i t ti t yi y xi x zi z xi x yi y
i 1 i 1 i 1 i 1
3 588 32 6430
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10
表中 ti xi , zi ln yi , z
1
z
10 ii 1
c x
(1)根据散点图判断， y a bx, y n m x与 y c 21e 哪一个适宜作为 y与 x之间的回归
方程模型并求出 y关于 x回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
(2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有 6 个鱼卵，其中“死卵”有 2 个；第二
批中共有 8 个鱼卵，其中“死卵”有 3 个．现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出 2
个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据 u1,v1 , u2 ,v2 , un ,vn ，其回归直线 v u的斜率和截距的最小二
n
ui u vi v
乘估计分别为 i 1 n , v u .
ui u 2
i 1
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{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}2023 年春季期末联考高二年数学科试卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C B A B D B AC ABD AD BC
1
13. 14. 64 15. 89% 16. 3 3
3 2
答案详解：
1．A【详解】解：因为 B {x | x2 4 0} {x | 2 x 2}， A {1,2,3}，
所以 A B {x | 2 x 2} {1, 2,3} {1, 2} .
2．D【详解】 i i 2 1 2i，故 i i 2 的虚部为 2 .
3．C 6 r【详解】二项式 1 2x 的二项展开式的通项公式为T C rr 1 6 2x 2r C r6 xr，
2 2
则展开式中含 x2项的系数为 2 C6 60 .
C1C1 C1 1
4．B【详解】 P 2 1 1
C2 4
C1
3C
1
3 9
1
5．A 【详解】由 y 2x 2 和切点 P 1,2 可知，x
切线的斜率 k y |x 1 1
π
，即倾斜角 ，
4
6．B【详解】由散点图知，去掉D 3,10 后，y与 x的线性相关程度变强，且为正相关，所
以 r变大， R2变大，残差平方和变小.故 ACD正确，B错误.
7．D 3 2【详解】由 f x x ax bx a2，得 f x 3x2 2ax b，
3 2a b 0 a 3 a 4
由题意可知： f (1) 0， f (1) 10，得到 2 ，解得 或 ，
1 a b a 10
b 3 b 11
当 a 3,b 3时， f (x) 3x 2 6x 3 3(x 2 2x 1) 3(x 1) 2 0 ，
所以 x 1不是极值点，
当 a 4,b 11时， f (x) 3x 2 8x 11 (3x 11)(x 1) ，
1
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f (x) ( , 11 ) (1, ) 11所以 在 ， 上单调递增，在 ( ,1)上单调递减，
3 3
所以则 f x 在 x 1处取极小值 10，符合题意.
所以 a 4,b 11，所以b a 15 .
8．B【详解】
1 a 1 a 1 1
由题意， A lna,a ， B e 2 ,a2 ，其中 e
2 ln a，且 a 0，
2
a 1 1 x 1
所以 AB e 2 lna，令 h(x) e 2
1
ln x ， (x 0)，
2 2
x 1 1
则 h x e 2 1 0 时，解得 x ，
2x 2
1 1
所以0 x 时， h x 0； x 时， h x 0；
2 2
则 h(x)
0, 1 1 在 上单调递减，在 , 上单调递增，
2 2
所以当 x
1
2 ln 2 ln 2时， AB 1
2 min
，
2 2
9．AC【详解】 a 1, x ，b x,9 ，
由 a∥b，可得1 9 x x 0，解之得 x 3
10．ABD【详解】对于 A，根据回归直线经过样本点中心可得1.6 0.2m m，得m 2，
故 A正确；
对于 B，根据独立性检验思想， 2的值越大，说明推断两事件无关出错的概率越大，因此
两事件相关程度越大，故 B正确；
对于 C，回归分析是研究两个变量的相关关系，而独立性检验是对两个变量之间的是否具有
某种关系的一种检验，故 C不正确；
对于 D，在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，
故 D正确.
11．AD 2021【详解】令 x 0，则1 a0，即 a0 1，故 A正确；
令 x 1，则 1 2 2021 a0 a1 a2 a2021，
即 a0 a1 a2 a3 a2021 1，
所以 a1 a2 a3 a2021 2，故 B错误；
3
根据二项式展开式的通项公式： a C 3 120183 2021 2 8C 32021，故 C错误；
2
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
令 x 1，则 a0 a1 a2 a3 a2021 1，
2021
令 x= 1，则 a a a a a 1 2 320210 1 2 3 2021 ，
32021 1
两式相加可得 a0 a2 a2020 ，①2
1 32021
两式相减可得 a1 a3 a2021 ，②2
1 32021 2021
② ①可得 a0 a a a a a
3 1
320211 2 3 4 2021 ，2
a 2021所以 1 a2 a3 a4 a2021 1 3 ，故 D正确.
P AB
12．BC【详解】对于 A：因为 P A B P AB P A P BP B ，当A与 B相互独立时 ，
此时 P A B P A ，由于无法确定P A ， P B 的大小关系，
故无法确定 P A B 与 P B 的大小关系，故 A错误；
P AB
对于 B：因为 P B A P B 1，则 1 P B 1P A ，
P AB
所以 P B ，即
P AB P A P B
P A ，所以A与 B独立，故 B正确；
P AB P A P B 对于 C：若A与 B独立，则 P A B P AP B P B ，
又 P A 0.4，所以1 P A 0.4，则 P A 0.6，即 P A B 0.6，故 C正确；
4
对于 D：因为A与 B独立，且 P AB ， P B 5，
9 9
P
AB
所以 P A
4
，则 P A 1 P A
1
P B 5 ，5
所以 P A B 1 P A B 1 P A P A 1 ，故 D错误；
5
1
13．
3
【详解】由题得函数的定义域为 R,
2
因为函数是奇函数，所以 f (0) a 0 0, a 1 .2 1
所以 f (x) 1
2
x ，所以 f (1) 1
2
1 2 1 .
2 1 21 1 3 3
3
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
14．64
1 1
【详解】（1）当从 8门课中选修 2门，则不同的选课方案共有C4C4 16种；
（2）当从 8门课中选修 3门，
1 2
①若体育类选修课 1门，则不同的选课方案共有C4C4 24种；
2 1
②若体育类选修课 2门，则不同的选课方案共有C4C4 24种；
综上所述：不同的选课方案共有16 24 24 64 种.
15．89%
200 90% 100 87%
【详解】解：由已知可得这家餐馆的好评率为 89% .
200 100
16 3 3．
2
2
【详解】由题意，函数 f x sin 2x 2cos x，则 f ' x 2cos2x 2sin x 2 4sin x 2sin x，
令 f x 0
1
( ) > ，即 2sin2 x sin x 1 0，解得 1 sin x ，2
当 x 0,2 5 时， f x 的单调增区间为[0, ), ( , 2 ] ( , 5 ，单调减区间为 )，
6 6 6 6
f 3 3又由 ， f 2 2，
6 2
3 3 3 3
可得在一个周期内，函数 f x 最大值为 ，即函数的最大值为 .
2 2
17．【详解】（1）因为 f (x) 3x2 4x a，……………………2分
且 f (1) 1，所以3 4 a 1，解得 a 2，……………………4分
所以函数的解析式为 f (x) x 3 2x 2 2x 1 .……………………5分
（2）由（1）可知 f (x) 3x2 4x 2， f ( 1) 3 4 2 9；……………………7分
又 f ( 1) 1 2 2 1 6，……………………9分
所以曲线 f (x)在 x= 1处的切线方程为 y 6 9 x 1 ，即9x y 3 0 .………………10分
18．【详解】（1） 的可能值为 300, 100,100,300 .……………………1分
P( 300) 0.23 0.008,
P( 100) 3 0.2 2 0.8 0.096 ,……………………4分
P( 100) 3 0.2 0.8 2 0.384 ,
4
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
P( 300) 0.8 3 0.512 ,
所以 的概率分布为
300 100 100 300
P 0.008 0.096 0.384 0.512
…………………6分
根据 的概率分布,可得 的期望
E ( 300) 0.008 ( 100) 0.096 100 0.384 300 0.512 180……………………8分
（2）这名同学总得分不为负分的概率为 P 0 0.384 0.512 0.896 .…………12分
19．【详解】（1）依题意， X 的可能取值为 0,1, 2，…………………1分
C0 C2 19 C1 1 C2 C0
则 P(X 0) 20 202 ，P(X 1)
20C20 20 20 20 19
C 78 2 ，
P(X 2) 2
40 C40 39 C40 78
，…………3分
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2
19 20 19
P
78 39 78
…………………4分
故 E(X ) 0
19
1 20 2 19 1.…………………6分
78 39 78
（2）（i）依题意，可知这 40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大
排后第 20位与第 21位数据的平均数，观察数据可得第 20位为 23.2，第 21位数据为 23.6，
m 23.2 23.6所以 23.4，…………………7分
2
故列联表为：
m m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
…………………9分
5
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
（ii）零假设：小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量没有差异
i K 2 40 (6 6 14 14)
2
由（ ）可得， 6.400 3.841，…………………11分
20 20 20 20
依据小概率值 0.05的独立性检验，我们推断假设不成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧
环境中与正常环境中体重的增加量有差异.………………12分
1
20．【详解】（1） x (38 41 44 51 54 56 58 64 74 80) 56．………4分
10
1 10
（2）因为 x 56,s 2
10 x1 x
2 1 1690 169 ，…………………5分
i 1 10
所以 56, 13．…………………6分
因为 P(30 X 82) P( 2 2 ) 0.9545，…………………8分
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30,82]得概率约为 0.9545，…………………9分
故Y B(100,0.9545)，…………………10分
所以 E(Y ) 100 0.9545 95.45．…………………12分
21．【详解】（1）函数 f x 的定义域为 0, ，
x 1 ax 1
f x ax 1 a 1 ． …………………2分
x x
若 a 0，则当 x 0, 时， f x 0，故 f x 在 0, 上单调递减；………………3分
x 0, 1a 0 f x 0 x 1 , 若 ，则当 时 ，当 时 f x 0，…………………4分
a a
故 f x 1 1在 0, 上单调递减，在 ,
上单调递增.…………………5分
a a
（2）由（1）知，当a 0时， f x 在 x 1 1 处取得最小值 f 1
1
ln 1 ，………6分
a a 2a a
f x 2 3 1所以 等价于1 ln 1 2 3 1 ，即 ln 1 1 0．…………………7分
2a 2a a 2a a a
设 g x x ln x 1，则 g x 1 1 ．………………8分
x
当 x 0,1 时， g x 0，当 x 1, 时， g x 0，
所以 g x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，…………………10分
故当 x 1时， g x 取得极小值且为最小值，最小值为 g 1 0． …………………11分
所以当 x 0时， g x 0．
1
从而当 a 0时， ln
1 3
1 0，即 f x 2 ．…………………12分
a a 2a
6
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
22．【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，
c x
所以 y c 21e 适宜作为 y与 x之间的回归方程模型；…………………1分
10
xi x zi z
令 z lny，则 z c2x lnc1, c i 1
32 1
2 10 ，…………………3分
x x 2 384 12i
i 1
ln c1 z c2x 1.4, z
1
x 1.4，…………………5分
12
1
y关于 x的回归方程为 z x 1.4y e e12 .…………………6分
（2）由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为 ，则 的取值为0,1, 2，
设 Ai “所取两个鱼卵来自第 i批” i 1,2 P P
1
，所以 A A ，…………………7分1 2 2
设 Bi “所取两个鱼卵有 i个”“死卵” i 1,2 ，
由全概率公式
1 C2 2P 0 P B∣A P A P B∣A P A 4 1 C 5 530 1 1 0 2 2 2 2 ，2 C6 2 C8 140
1 1 1 1
P 1 C C 1 C C 449 1 P B∣1 A1 P A1 P B∣1 A2 P A2 4 2 + 5 32 2 = ，………………10分2 C6 2 C8 840
2 2
P 2 P B A P A P B A P A 1 C2 1 C3 73 ∣2 1 1 ∣2 2 2 ，2 C2 2 C26 8 840
所以取出“死卵”个数的分布列为：
0 1 2
53 449 73
P
140 840 840
E 0 53 1 449 2 73 595 17 .
140 840 840 840 24
17
所以取出“死卵”个数的数学期望 .…………………12分
24
7
{#{QQABKYYAggioQBIAAAACAwEgCgOQkgECAIgOABAUIEIASQFABCA=}#}
