6.3用样本估计总体的分布（含解析）

§3　用样本估计总体的分布
课后训练巩固提升
一、A组
1.“样本的频率分布”与“相应的总体分布”的关系是(　　).
A.“样本的频率分布”与“相应的总体分布”是同样的分布
B.“样本的频率分布”与“相应的总体分布”是互不相关的两种分布
C.“样本的频率分布”将随着样本容量的增大更加接近“总体分布”
D.“样本的频率分布”的样本容量增大到某一定值时就变成了“总体分布”
2.一个容量为100的样本数据,按从小到大的顺序分成8组,如下表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 x 14 15 13 12 9
第三组的频数和频率分别是(　　).
A.14和0.14 B.0.14和14
C.和0.14 D.
3.某商场在庆元宵促销活动中,对元宵节9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为(　　).
A.6万元 B.8万元 C.10万元 D.12万元
4.(多选题)某高校土木工程系大四55名学生期末考试专业成绩的频率折线图如图所示,其中组距为10,且本次考试中最低分为50分,最高分为100分.由图中所提供的信息,可知下列结论正确的有(　　).
A.成绩是75分的人数为20
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在区间[70,90)内的人数为35
D.成绩落在区间[70,80)内的人数为20
5.一个社会调查机构就某地居民的月收入(单位:元)情况随机调查了10 000人,并根据所得数据绘制了频率分布直方图,如图所示.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层随机抽样的方法抽出100人做进一步调查,则月收入在区间[4 500,5 000)内应抽出　　　　　人.
6.某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为5组绘制出如下频率分布表和频率分布直方图.
组号 分组 频数 频率
1 [75,80) 5 0.05
2 [80,85) 35 0.35
3 [85,90) a b
4 [90,95) c d
5 [95,100] 10 0.1
(第6题)
则a=　　　　　,d=　　　　　.
7.100名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13 s与19 s之间(含13 s且不含19 s),将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于或等于13 s且小于14 s;第二组,成绩大于或等于14 s且小于15 s;……第六组,成绩大于或等于18 s且小于19 s.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(第7题)
(1)求成绩大于或等于13 s且小于14 s的频率,并补全频率分布直方图;
(2)若规定成绩在区间[13,14)内为优秀,在区间[13,18)内为合格,在区间[18,19)内为不合格,求这100名学生在这次百米测试中成绩优秀的人数、合格的人数和不合格的人数.
8.对某种电子元件进行寿命追踪调查,随机抽取200个,结果如下:
寿命/h [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600]
个数 20 30 80 40 30
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计电子元件寿命在区间[100,400)内的频率;
(4)估计电子元件寿命在400 h以上(包括400 h)的频率.
二、B组
1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分,若样本中数据在区间[20,60)内的频率为0.8,则样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为(　　).
A.15 B.16
C.17 D.19
2.在抽查某产品尺寸的过程中,将尺寸分为若干组,[a,b)是其中一组,抽查出的个体落在该组内的频率为m,在频率分布直方图中该组对应的小矩形的高为h,则|a-b|等于(　　).
A.hm B.
C. D.与m,h无关
3.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力,得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力从4.6到5.0之间的学生人数为b,则a,b的值分别为(　　).
A.0.27,78 B.0.27,83
C.2.7,78 D.2.7,83
4.从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350 kW·h之间,频率分布直方图如图所示(分组除最后一组为闭区间外,其余分组均为左闭右开区间).
(1)频率分布直方图中x的值为　　　　;
(2)在这100户居民中,用电量落在区间[100,250)内的户数为　　　　　.
5.为了解某校高一年级学生的体能情况,抽取部分学生进行1 min跳绳测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图,分组除最后一组为闭区间外,其余分组均为左闭右开区间),图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少 样本容量是多少
(2)若次数在110以上(含110)为达标,则估计该校全体高一年级学生的达标率是多少
6.为了解九年级学生中女生的身高(单位:cm)情况,某中学对九年级女生身高进行了一次测量,所得数据整理后列出了频率分布表如下:
身高分组/cm 频数 频率
[145.5,149.5) 1 0.02
[149.5,153.5) 4 0.08
[153.5,157.5) 20 0.40
[157.5,161.5) 15 0.30
[161.5,165.5) 8 0.16
[165.5,169.5] m n
合计 M N
(1)求出表中m,n,M,N所表示的数;
(2)画出频率分布直方图;
(3)该中学九年级女生中身高在哪个区间内的人数最多 估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率.
1.答案:C
2.答案:A
3.解析:总销售额为=25(万元),故11时至12时的销售额为0.4×25=10(万元).
答案:C
4.解析:成绩落在区间[70,80)内的人数为10××55=20,不能说成绩是75分的人数为20,所以A错误,D正确;从题中频率折线图看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多,只能看出成绩落在区间[50,60)内的人数和成绩落在区间[90,100]内的人数相等,所以B错误;成绩落在区间[70,90)内的人数为(10×+10×)×55=35,所以C正确.
答案:CD
5.解析:因为月收入在区间[4 500,5 000)内的频率为0.000 5×500=0.25,所以应抽出100×0.25=25(人).
答案:25
6.解析:由题中频率分布直方图,知成绩在区间[85,90)内的频率b=0.06×5=0.3,
∴成绩在区间[85,90)内的频数a=0.3×100=30,
∴c=100-5-35-30-10=20,d==0.2.
故a=30,d=0.2.
答案:30　0.2
7.解:(1)组距为1,设成绩在区间[13,14)内的频率为x,则x+0.02+0.06+0.18+0.36+0.34=1,可得x=0.04.
补全的频率分布直方图如图所示.
(第7题答图)
(2)成绩在区间[13,14),[13,18),[18,19)内的频率分别为0.04,1-0.02=0.98,0.02,
所以成绩优秀的人数为0.04×100=4,成绩合格的人数为0.98×100=98,成绩不合格的人数为0.02×100=2.
8.解:(1)频率分布表如下:
寿命分组/h 频数 频率
[100,200) 20 0.10 0.001 0
[200,300) 30 0.15 0.001 5
[300,400) 80 0.40 0.004 0
[400,500) 40 0.20 0.002 0
[500,600] 30 0.15 0.001 5
(2)频率分布直方图如图所示.
(第8题答图)
(3)由频率分布表可知,抽取的这200个电子元件寿命在区间[100,400)内的频率为0.10+0.15+0.40=0.65.
故我们估计该电子元件寿命在区间[100,400)内的频率为0.65.
(4)由频率分布表可知,抽取的这200个电子元件寿命在400 h以上(包括400 h)的频率为0.20+0.15=0.35.
故我们估计该电子元件寿命在400 h以上(包括400 h)的频率为0.35.
1.解析:由题易得样本在区间[40,50),[50,60)内的频率和为0.8-=0.5,故样本在区间[40,50),[50,60)内的数据个数共为30×0.5=15.故选A.
答案:A
2.解析:因为频率分布直方图中小矩形的面积等于频率,所以|a-b|×h=m.所以|a-b|=.
答案:C
3.解析:由题中频率分布直方图可得a=2.7×0.1=0.27.前4组的频率分别为0.01,0.03,0.09,0.27,则频数分别为1,3,9,27.故后6组的频数构成了以27为首项,和为87的等差数列.设该等差数列的公差为d,
则27×6+×d=87,可得d=-5.
∴b=27+(27-5)+(27-2×5)+(27-3×5)=78.
答案:A
4.解析:(1)由频率分布直方图总面积为1,得(0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+x+0.006 0)×50=1,解得x=0.004 4.
(2)用电量在区间[100,250)内的频率为(0.003 6+0.004 4+0.006 0)×50=0.7,故所求户数为100×0.7=70.
答案:(1)0.004 4　(2)70
5.解:(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率大小,
因此第二小组的频率为=0.08.
又因为第二小组的频率=,
所以样本容量==150.
(2)由题中频率分布直方图可估计,该校高一年级学生的达标率为×100%=88%.
6.解:(1)方法1　M==50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1,n==0.04.
方法2　n=1-(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,N=1,,可得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.
(2)画出频率分布直方图,如图所示.
(第6题答图)
(3)该中学女生中身高在区间[153.5,157.5)内的人数最多.估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的频率为0.16+0.04=0.20.
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