广东省阳江市2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

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阳江市2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数 学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，若，则cos2α的值为（ ）
A． B． C．0 D．或0
3．已知中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ）
A． B．
C．2 D．4
4．已知直角梯形，点在边上.将沿折成锐二面角，点均在球的表面上，当直线和平面所成角的正弦值为时，球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法错误的是（ ）
A．的外接球面积为 B．直线平面
C．正方体被平面截得的截面为正六边形 D．点的轨迹长度为
6．过直线上的一点作圆的两条切线，，切点分别为，当直线，关于对称时，线段的长为（ ）
A．4 B． C． D．2
7．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在棱长为4的正方体中，动点在正方形（包括边界）内运动，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．线段长度的最小值为
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角正弦值的取值范围为
D．若动点在线段上，则线段长度的最小值为
10．已知直线：与圆：．则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆相离
C．圆心到直线距离的最大值是
D．直线被圆截得的弦长最小值为
11．已知实数x，y满足（为自然对数的底数，，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
12．一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（ ）
A． B．
C．， D．，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，若在区间上有两个不同的使得，则的取值范围是_______.
14．已知圆，过点的直线被该圆所截的弦长的最小值为______.
15．若时，不等式恒成立，则整数的最大值为______.
16．已知中，，，是线段上的两点，满足，，，，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．记的内角的对边分别为，已知，且.
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，且，求的取值范围.
18．设数列满足，．
(1)证明：．
(2)设数列的前n项和为，证明：．
19．如图所求，四棱锥，底面为平行四边形，为的中点，为中点.
(1)求证：平面；
(2)已知点在上满足平面，求的值.
20．已知椭圆的焦距为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．
21．新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为，没有4个选项都正确的（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得5分的概率为，求；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个. 若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
22．已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.
参考答案：
1．C
2．B
3．A
4．D
5．D
6．C
7．B
8．B
9．ABD
10．AD
11．ACD
12．ACD
13．
14．
15．2
16．
17．
【详解】（1）证明：依题意知，
故，即，
由余弦定理得，
代入可得，
因为，所以，即；
（2）由题意为锐角三角形，且，
由（1）知，则，
由正弦定理得，
，其中为锐角，所以，
因为，则，解得，
则，则，即，
因此.
18．
【详解】（1）∵数列满足，，
∴易知，且，当且仅当时取得等号，
故．
（2）由（1）可得．
从而，
∴．
19．
【详解】（1）证明：连结交于，连结，
因在中，为中点，为中点，则FO .
又平面，平面，故平面；
（2）如图连结交延长线于，连结交于，
连结，，，EN.
因，则四点共面.
又平面，平面平面，
则，四边形为平行四边形，可得 为中点.
则为BG中点.
即EN为中位线，则ENPG，.
又DN，则四边形EFDN为平行四边形，ENFD.
从而FDPG，.
20
【详解】（1）解：由题意可知，所以，所以①，
又，所以②，
由①②可得，，所以椭圆的方程为．
（2）解：设点、、，
联立，得，
由题知，可得③，
由韦达定理可得，
，从而，
，
，则，即④，
把④代入③得，解得，又，故的取值范围是．
21．
【详解】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件，“有3个选项正确”为事件，“小明该题得5分”为事件B，
则，求得.
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则，
且，
，
，
所以，，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则，且
，
，
所以，,
因为，所以小明应选择方案①.
22．
【详解】（1）因为，所以，切线斜率为
因为，所以切点为
切线方程为即
（2）法一：令，所以，
所以在单调递增，，
所以，所以，
所以要证只需证明
变形得
因为
所以只需证明，即
两边同取对数得：
令，
则
显然在递增，
所以存在当时递减，
当时递增;
因为
所以在上恒成立，所以原命题成立
法二：设则，
要证：
需证：
即证：
因为，需证，即证：
①时必然成立
②时，因为所以只需证明，
令，，
令，
∴在上为增函数
因为
，所以
所以存在，使得
∴在上为减函数，在上为增函数
∴
综上可知，不等式成立