湖北省荆门市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

荆门市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
本试卷共4页，共22题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线：，若直线与垂直，则的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，，则公差为（ ）
A.3 B. C.1 D.
3.对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差.某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：
第天 1 2 3 4 5 6
高度（cm） 1 4 7 9 11 13
经这位同学的研究，发现第天幼苗的高度（cm）的经验回归方程为，据此计算样本点处的残差为（ ）
A.0.1 B. C.0.9 D.
4.从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于10的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.编号为1，2，3，4，5的五位同学分别就座于编号为1，2，3，4，5的五个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学（▲）
A.20 B.45 C.40 D.90
6.正整数1，2，3，…，的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当很大.其中称为欧拉—马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数.用上式计算的值为（ ）（参考数据：，，）
A.7 B.8 C.9 D.10
7.过抛物线的焦点作斜率为直线与抛物线交于、两点，与抛物线的准线的相交于点.若为的中点，则（ ）
A. B. C.2 D.
8.设函数在定义域上满足，若在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在正方体中，，则（ ）
A.
B.与平面所成角为
C.当点在平面内时，
D.当时，四棱锥的体积为定值
10.已知一组个数据：，满足：，中位数是，平均数为，方差为，则（ ）
A.
B.
C.函数f的最小值为
D.若成等差数列，则
11.已知是圆：上任意一点，定点在轴上，线段的垂直平分线与直线相交于点，当在圆上运动时，的轨迹可以是（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
12.若直线与两曲线，分别交于，两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（ ）
A.存在，使
B.当时，取得最小值
C.没有最小值
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知随机变量，则________.
14.写出一条与直线平行且与圆相切的直线方程________.
15.已知数列满足，且，为数列的前项和，则________.
16.已知椭圆：的离心率为，左顶点是，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为.若，且的周长为，则直线的斜率为________.
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知，设.
（1）求的值；
（2）求的展开式中的有理项.
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，，，，.过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展.某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程.现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.
质量差（单位：mg） 56 67 70 78 86
件数（单位：件） 10 20 48 19 3
（1）求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差近似服从正态分布，其中，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；
（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，求该零件为废品的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布，
则，
，.
20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足，.其中是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）在和中插入个相同的数，构成一个新数列
，求的前100项和.
21.（本小题满分12分）已知双曲线：的实轴长为2，两渐近线的夹角为.
（1）求双曲线的方程：
（2）当时，记双曲线的左、右顶点分别为，，动直线：与双曲线的右支交于，两点（异于），直线，相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线方程.
22.（本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
荆门市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学参考答案
1-4ADBC 5-8ABDD 9.AC 10.ACD 11.ABC 12.ABD
13.4 14.或（写出其中一条即可）
15.2020 16.
12.【解析】由直线与两曲线，分别交于，两，点可知：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，可知切线：.
曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率.
令，，则，令，，
由零点存在定理，使，即，
使，即，故A正确.
，令，
∴由同理可知有，使，
令，在处取最小值，
即当时，取得最小值，故B正确.
，又，
∴，∴为定值，故C错误.
是对勾函数，在上是减函数，
∴，又，
∴，∴，∴，
∴
故D正确.故选：ABD.
16.【解析】∵，则，，
∴，①
又，∴，②
又，③
由①②③知，，，
，，∴的斜率为.
17.解：（1）由已知得：
解得：.
（2）当，展开式的通项为
，
要使之为有理项则为整数，
此时可以取到0，3，6
所以有理项分别是第1项，第4项，第7项，
，，.
18.解：（1）在三棱柱中，，
，，
则，
又，，
于是得，
而，，
，则，
所以四边形为平行四边形.
（2）在平面内过点作，因为，
，
于是得，又，以点为原点，建立如图所以的空间直角坐标系，
因，，
则，，，，
，，，，
，
设平面的法向量，则，
令，得，
而，设直线与平面所成角为，
于是得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）.
，，得：
（2）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，
又，，
于是.
20.解：（1）当时，，当时，递推得，
∴，，
因为数列各项均为正数，所以，又∵，
∴数列为等差数列，故.
（2）设和插入的个数构成一组数，
则前组共有个数，
令，又，解得：；
当时，，
∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
∴
.
21.解：（1）由题知，得，
或，得或，
所以双曲线的方程为：或：.
（2）证明由（1）知，当时，：，
设，，
联立直线与双曲线得：，
，
方程的两根为，，则，.
，，则：，：，
因为直线，相交于点，
故，，
消去，整理得：，
法一：
，
法二：由，则，
则，
因此，
故点在定直线上.
22.解：（1）当时，，
则在上单调递增，因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值.
（2）令，则即，因为
即在时恒成立，
令，
，故单调递增，
所以，故.