广西北海市2022-2023学年高二下学期期末质量检测卷数学试题（Word版含答案）

北海市2022-2023学年高二下学期期末质量检测卷
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第二册，必修第一册第一章~第五章.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用列举法可将集合表示为（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知是等差数列的前项和，且，则（ ）
A.30 B.60 C.90 D.180
4.已知实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.2
5.设，则（ ）
A. B.
C. D.
6.函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的值可能为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在处取得极大值
D.在处取得极大值
11.下列说法中，正确的有（ ）
A.已知，则数列是递减数列
B.数列的通项，若为单调递增数列，则
C.已知正项等比数列，则有
D.已知等差数列的前项和为，则
12.已知且，函数，则（ ）
A.若，则有且仅有1个零点
B.若，则在区间上单调递减
C.若有两个零点，则
D.若，则存在，使得当时，有
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设等比数列的公比为，其前和为，且，则__________，__________.（本题第一空2分，第二空3分）
14.是以2为周期的函数，若时，，则__________.
15.已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围是__________.
16.设，若，则的最大值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数，满足条件.
（1）求的解析式；
（2）用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.
18.（本小题满分12分）
设等比数列的前项和为，公比.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为.
19.（本小题满分12分）
中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十六号航天员乘组与神舟十五号航天员乘组太空在轨轮换.已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和.在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为时，火箭的最大速度为.已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为.
（1）求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
（2）“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动所需达到的速度，也称为“航天器最小发射速度”.请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到（第一宇宙速度）？
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数的首项，且满足.
（1）求证：为等比数列，并求；
（2）对于实数表示不超过的最大整数，求的值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在处取得极值，求的极值；
（2）讨论的单调性.
北海市2022-2023学年高二下学期期末质量检测卷
数学
参考答案 提示及评分细则
1.D .
集合表示为.故选D.
2.B 根据全称量词命题的否定形式可知，命题“”的否定为.故选B.
3.C ，解得，所以，故选C.
4.B 因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故选.
5.A .故选A.
6.B 因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.故选B.
7.B 因为当时，，
当时，对任意，因此不可能
当时，，
同理当时，，
以此类推，当时，必有.
当时，令，则，
因为当恒成立，所以.故选B.
8.C 当时，，又，
所以在上有唯一零点，所以有3个零点，
即在上有2个零点，即
与的图象有2个交点，如图所示.设切点为，所以
解得，所以实数的取值范围是.故选.
9.CD 由题设，又在上单调递减，所以
1，即，符合要求的值为C，D.故选CD.
10.AC 在区间上单调递减，故A正确；在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误；在区间上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，故C正确；在区间上单调递增，故D错误.故选AC.
11.ABD 对于A中，由，可得，所以数列是递减数列，所以正确；
对于B中，若数列的通项，则恒成立，所以，所以B正确；
对于C中，正项递增的等比数列，若，可得，此时，所以C不正确；
对于D中，等差数列的前项和为且，根据构成等差数列，即4，构成等差数列，可得，解得，所以D正确.故选ABD.
12.ABD 对于时，.
则，即，
令时，，
在上，单调递增，在上，单调递减.
，所以此时有1个零点，所以A正确；
对于B：，
令为增函数，
，
因为，所以，则，所以，
所以在存在，使在上，在上，
所以在递减，在递增，且，
因为，所以，所以，
所以在上，所以在上递减.所以B正确.
对于时，同项有，
令时，，
在上，单调递增，在上，单调递减.
，
当时，，有两个零点，
当时，，有两个零点，
所以C项错误；
对于D：因为，由对分析可知，存在，
使得当时，不等式恒成立，即，
则对于恒成立，所以D项正确.故选ABD.
13.16 31 由，又因为，所以；所以.
14.3 因为是以2为周期的函数，若时，，所以.
15. 在上有解，经验证：当时，在上确实存在极值点，所以，即实数的取值范围是.
16. 因为，所以.
又，
所以.
因为，根据基本不等式有，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
则，
所以的最大值为.
17.解：（1）因为且，
所以解得所以；
（2）由，
设任意的且，
则
因为且，所以，
所以，则在上单调递增，
所以.
18.（1）解解得或（舍）
；
（2）
.
19.解：（1）因为火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，
又时，时，，
所以解得，
所以；
（2）设且，则，又，
所以时，可得，
即，解得，
故燃料质量至少是箭体质量的（倍时，该火箭最大速度可达到.
20.解：（1）由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
又在上单调递减，所以，即实数的取值范围是；
（2），使得，即，使得.
令.令，
在上恒成立，所以在上单调递减，
又，所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围是.
21.解：（1）因为，
所以，
又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以.
（2）因为，
所以
.
设，所以，
所以
所以，
所以.
因为，所以，
所以.
22.解：（1）因为，
所以，解得，经检验符合题意，
所以，
所以，
令，解得，令，解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以的极小值为，极大值为；
（2），
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，若，
即时，在上恒成立，所以在上单调递增.
若，解得.令，
解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，若，
即时，在上恒成立，所以在上单调递减.
若，解得.令，
解得，令，
解得或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.