中山市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
一 单选题(本大题共8小题,共40.0分,在每小题列出的选项中选出符合题目的一项)
1.化简( )
A. B. C. D.
2.若向量满足,则( )
A. B.2 C. D.4
3.若,则值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,其终边与单位圆相交于点,则( )
A. B. C. D.
6.在边长为1的正方形中,为的中点,点在线段上运动,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.( )
A. B.1 C.-1 D.
8.如图,半径为1的半圆与等边三角形夹在两平行线之间,与半圆相交于两点,与三角形两边相交于点,设弧的长为,若从平行移动到,则函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
二 多选题(本大题共4小题,共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)
9.已知向量,则( )
A.
B.与向量共线的单位向量是
C.
D.向量在向量上的投影向量是
10.设函数,则( )
A.是偶函数 B.在单调递减
C.最大值为2 D.其图象关于直线对称
11.已知函数的部分图象如图所示,则下列关于函数说法正确的有( )
A.图象关于点对称 B.最小正周期为
C.图象关于直线对称 D.在区间上单调递减
12.在边长为2的正中,满足相交于点,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.在上的投影向量为
三 填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知平面向量,且,则__________.
14.已知,若,则__________.
15.已知,且,则__________.
16.已知函数,将图象上的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.的部分图象如图所示(分别为函数的最高点和最低点),其中,则的值为__________.
四 解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题10.0分)已知.
(1)当为何值时,与共线?
(2)若且三点共线,求的值.
18.(本小题12.0分)向量与不共线.
(1)求证:;
(2)若向量与的模相等,求.
19.(本小题12.0分)已知函数,其部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)若,且,求的值.
20.(本小题12.0分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)若不等式对任意成立,求整数的最大值;
(3)若函数,先将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数的图象.若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.
21.(本小题12.0分)我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”.数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透.而向量正是数与形“沟通的桥梁”.在中,试解决以下问题:
(1)是三角形的重心(三条中线的交点),过点作一条直线分别交于点.
①记,请用表示;
②,求的最小值.
(2)已知点是的__________,且,求的值.
请从下面两个条件中选一个填在上述横线上,并完成解答.
①外心(三条垂直平分线的交点);②垂心(三条高的交点).
22.(本小题12.0分)已知为坐标原点,对于函数,称向量为函数的相伴特征向量,同时称函数为向量的相伴函数.
(1)设函数,试求的相伴特征向量;
(2)记向量的相伴函数为,求当且的值;
(3)已知为的相伴特征向量,记,请问在的图象上是否存在一点,使得.若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
中山市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试题
答案和解析
1.【答案】C 解:.故选:C.
2.【答案】B 解:,.故选.
3.【答案】A 解:,
,故选:A.
4.【答案】D 解:由投影向量的定义知,在上的投影向量为
.故选.
5.【答案】B 解:由题意.故选:B.
6.【答案】C 解:(如图)以分别为轴建立坐标系,
进而可得,设,
,
,
当时,有最小值为;当时,有最大值为,
由此可得的取值范围是,故选.
7.【答案】D 解:
.故选.
8.【答案】A 解:依题意,正的高为1,则其边长,如图,连接,过作于,交于点,过作于,
因,弧的长为,则,又,即有
,于是得,
,
因此,,
即,显然在上单调递增,且图象是曲线,排除选项,而选项不满足,选项符合要求,所以函数的图像大致是选项.故选.
9.【答案】AC 解:选项,,
选项正确;
选项,设与向量共线的单位向量,则得或,故或选项错误;
选项,,则,
故选项正确;
选项,向量在向量上的投影向量是选项错误;故选:AC.
10.【答案】ABD 解:
由函数图象可知,为偶函数,且最大值为,故正确,错误,
令,解得,令得,,
在上单调递减,故正确,当时,,取得最小值,图像关于直线对称,故正确,综上,选项正确,故选.
11.【答案】CD 解,所以,由,解
得所以.对于,当
时,,
图象不关于点中心对称,故不正确;
对于的最小正周期是,故不正确;
对于,当时,,图象关于轴对称,故正确;
对于,当时,,函数单调递减,故正确.故选.
12.【答案】AD 解:因为是边长为2的等边三角形,是上的点,且,所以以为坐标原点,所在直线分别为轴 轴,建立平面直角坐标系如上图:则.又因为,即为边上的一个靠近的三等分点,
所以.设,则,而,
由三点共线得,解得,即,
因此是的中点.因为,所以,因此正确;
因为,
,因此不正确;
又因为,所以
,因此,即不正确;
又因为,
所以在方向上的投影向量,因此
正确.故答案选;.
13.【答案】 解:,
.故答案为.
14.【答案】 解:,又
,
,
.故答案为:.
15.【答案】 解:,当时,,
故,即
.答案为.
16.【答案】 解:,
将图象上的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变时),得到的图象,分别为函数的最高点和最低点,,
由,得为正三角形,
又的高为.答案为.
17.【答案】解.
因为与共线,所以,即,得.
(2)因为三点共线,所以存在实数使得,
即,所以解得.
18.【答案】解:(1)证明:由题意可得,
,
.
(2)向量与的模相等,
.
又,
,解得,
又或.
19.【答案】解:(1)由图象知
将代入,得
因为,所以,即,
所以.
(2),
,
.
20.【答案】解:(1)由题意得,
可得函数的最小正周期为.
(2)因为,所以,
所以,
所以当时,的最小值为1;当时,的最大值为2,
所以.由题意得,,所以对一切恒成立,所以,解得,所以整数的最大值为4.
(3)由题意知,,
将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得,
再向右平移个单位得,
因为关于的方程在区间上有解,
整理得:,
即在区间上有解,
令,
式可转化为在内有解,
所以
又因为和在为增函数,
所以在为增函数,
所以当时取得最小值;当时取得最大值,
所以,
综上所述,的取值范围为.
21.【答案】解:(1)①设是中点,则,
重心是中线靠近边的三等分点,;
②,
三点共线,在线段上,
则,
,
当且仅当时取等号,的最小值为3;
(2)记的角所对应的边长为,
若选①,由可知点在的内部,
如图所示,取的中点的中点,由外心性质可知,从而,即,
所以,故,
同理,由
可得,
联立得
若选②:由已知得,
由所以.
22.【答案】解:(1),
所以,
故函数的伴随特征向量,
(2)向量的相伴函数为,
由于,所以,
由于,所以,则,
故.
(3)由于为函数的伴随向量,
故.
所以,
设,由于,
所以,
由于,所以,故,
整理得,所以,
由于,所以,故,
由于,当且仅当时,和都等于,
所以在的图象上存在点使得成立.