安居育才卓同学校2022-2023学年高二下学期期末校考
文科数学试题
一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
4．下列有关回归分析的说法中不正确的是（ ）
A．回归直线必过点
B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
C．当相关系数时，两个变量正相关
D．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于
5．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为（ ）
A． B． C． D．
6．点极坐标为，则它的直角坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ， ② ， ③ ， ④.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A．由等边三角形、等腰三角形的内角和是180°，推测所有三角形的内角和都是180°
B．由三角形的两边之和大于第三边，推测四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列中，，，算出由此得出的通项公式为
9．已知双曲线的两条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数,对任意,若,则下列式子成立的是( )
A． B． C． D．
12．已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．抛物线的焦点坐标为_________．
14．已知i是虚数单位，复数满足，则______.
15．某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的所有可能取值个数是__________个
对工作满意 对工作不满意
男
女
附：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围___________.
三、解答题
17．（10分）已知集合和非空集合
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数，
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间.
19．（12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业，产品主要应用于森林消防、物流运输、航空测绘、军事侦察等领域，获得市场和广大观众的一致好评，该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．该公司分别收集了甲、乙两种类型无人运输机在5个不同的地点测试的某项指标数，，数据如下表所示：
地点1 地点2 地点3 地点4 地点5
甲型无人运输机指标数x 2 4 5 6 8
乙型无人运输机指标数y 3 4 4 4 5
(1)试求y与x间的相关系数r，并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若，则线性相关程度很高）
(2)从这5个地点中任抽2个地点，求抽到的这2个地点，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数的概率．
附：相关公式及数据：，．
20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线的直角坐标方程；
(2)若曲线和直线相交于两点，求.
21．（12分）已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标.
22．（12分）已知函数.
(1)若，求函数的极值点；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.试卷第1页，共3页
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文科数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A B A C A C D B C B
1．D【详解】命题“”的否定是“”.故选：D.
2．C【详解】∵与互为共轭复数，∴.故选：C.
3．A【详解】由得或，因此“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
4．B【详解】对于A选项，回归直线必过点，A对；
对于B选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B错；
对于C选项，当相关系数时，两个变量正相关，C对；
对于D选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D对.故选：B.
5．A【详解】因为成立，所以运行，即，所以输出的y的值是.故选：A
6．C【详解】由点的直角坐标为，则，，
则点的直角坐标为.故选：C.
7．A【详解】因为,所以①错,因为,所以②错,因为,所以③错.
因为,所以④错,故选：A.
8．C【详解】对于A，是从特殊到一般的推理，属于归纳推理，是合情推理；对于B，是从特殊到特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；对于C，为三段论，是从一般到特殊的推理，是演绎推理；对于D，为不完全归纳推理，属于合情推理；故选：C.
9．D【详解】当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程可知，
所以离心率.
当双曲线的焦点在轴上时，由渐近线方程可知，
所以离心率.故选：D
10．B【详解】，因为在上为单调递增函数，
所以在上恒成立，令，
要满足①，或②，由①得：，由②得：，
综上：实数m的取值范围是.故选：B
11．C【详解】，
故函数是区间上的偶函数，
，
当，，所以，则函数在区间上单调递增，所以．故选：C．
12．B【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，设，
由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，
如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，
，且，
所以，令，则，
所以，由，而，
得，取得最小值，则的最小值为．故选：B．
13．【详解】解：因为抛物线方程为，所以，焦点坐标为，故答案为：
14．【详解】因为，所以，所以.
故答案为：.
15．6【详解】，解得，
因为且，所以或或或或或.
故答案为：6
16．【详解】由函数的定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为定义域上的偶函数，
所以，即不等式可化为，
当时，函数根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，
所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，
由，可得，整理得且，
即且在上恒成立，设，可得，其中，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以.设，可得，当时，，所以，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.
17．【详解】（1）不等式解得，则有，
当时，，..................5分
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集，
则有，由于等号不能同时成立，故，所以实数的取值范围...................10分
18．【详解】（1）因为，所以，
， 切点为，..................2分
所求切线的斜率为，..................4分
所求切线的点斜式方程是，即：；.................6分
（2）因为
当时，解得或，..................8分
当时，得， 当时，得，..................10分
所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为...................12分
19．【详解】（1），，..................2分
所以，
由于，..................4分
相关系数，..................5分
因为，所以y与x具有较强的线性相关关系．..................6分
（2）将地点1，2，3，4，5分别记为A，B，C，D，E，任抽2个地点的可能情况有，，，，，，，，，，共10种情况，..................8分
其中在地点3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即，，3种情况，..................10分 故所求概率为．.................12分
20．【详解】（1）由直线l的参数方程为（ t为参数），消去参数可得，
因为曲线C的极坐标方程为，所以，
故由可得，即，
所以曲线直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为...................6分
（2）易知直线过定点，斜率为，即倾斜角为，
所以设直线的参数方程为（为参数），
将直线代入得，则，
设两点对应的参数为，故，，
所以...................10分
21．【详解】（1）由题意知： ，可得： ，则椭圆的标准方程为........4分
（2）当直线的斜率不存在时，设，联立，解得，所以，，又，
所以由，解得或（舍去），此时直线方程为，.........6分
当直线的斜率存在时，设，
联立，消得到.
由得，，由韦达定理知，，，..............8分
因为以P，Q为直径的圆恒过点，
由，
将，代入整理得，即，
所以或 ，..................10分
当时，直线为，此时直线过点，不合题意，舍去，
当时，直线为，此时直线过定点
综上，直线恒过定点...................12分
22．【详解】（1）当时，，，
当时，，时，，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，
所以函数在处取得极大值，函数的极值点为1；.................4分
（2）函数的定义域为，不等式恒成立，
即在上恒成立，记，则，
得到在区间上单调递减，在上单调递增，
则，即在区间上恒成立，
分离变量知：在上恒成立，则，
，
由前面可知，当时，恒成立，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，所以．..................8分
（3），
设曲线图象上任意一点，所以曲线在点处的切线方程为，将代入得，故切点为，过的切线方程为，
所以直线和曲线相切，并且切点坐标为，所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且，从而当时，有三个极值点，，，并且，，，取对数知：，，即，，
则
．
构造，
在时恒成立，
则在区间上单调递增，且，
从而的解为，综上所述...............12分
