中小学教育资源及组卷应用平台
1.4.2 充要条件（分层练习）
【练基础】
1.（多选）已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
2.（多选）在下列结论中，正确的有( )
A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
3. 设x∈R，则“1
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4. “x≠－1”是“x2－1≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6. 下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．07. 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8.（多选）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是( )
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【练综合】
1. 已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
3. 若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
4. “函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 已知“p：x>m＋3或x6. 已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
【练思维】
1. 设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
2. 若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件.
3. 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．
4. 设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
【练创新】
1. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.4.2 充要条件（分层练习）
【练基础】
1.（多选）已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是( )
A．Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
B．Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件
C．Δ＝b2－4ac>0是这个方程有实根的必要条件
D．Δ＝b2－4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
【解析】Δ≥0 方程ax2＋bx＋c＝0有实根，A对；Δ＝0 方程ax2＋bx＋c＝0有实根，B对；Δ>0 方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根Δ>0，C错；Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0无实根，D对.故选ABD.
2.（多选）在下列结论中，正确的有( )
A．x2＝9是x3＝－27的必要不充分条件
B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为0”的充要条件
D．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件
【解析】对于A，由x3＝－27，得x＝－3 x2＝9，但是x＝3适合x2＝9，推出x3＝27≠－27，故A正确；对于B，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2 △ABC为直角三角形，但△ABC为直角三角形 AB2＋AC2＝BC2或AB2＋BC2＝AC2或BC2＋AC2＝AB2，故B错误；对于C，由a2＋b2≠0a，b全不为0，由a，b全不为0 a2＋b2≠0，故C错误；对于D，由a2＋b2≠0 a，b不全为0，反之，由a，b不全为0 a2＋b2≠0，故D正确.
故选AD.
3. 设x∈R，则“1A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】“1故选B.
4. “x≠－1”是“x2－1≠0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由x2－1≠0，得x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是x≠1且“x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件.
故选B.
5. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．
故选A.
6. 下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．0【解析】由x2<4得－2故选A.
7. 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>0”，反之也是成立的.故选C.
8.（多选）对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中真命题是( )
A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
C.“a<5”是“a<3”的必要条件
D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件
【解析】对于A，因为当a＝b时，ac＝bc成立，
而当c＝0，ac＝bc时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A错误.
对于B，当a＝－1，b＝－2时，a>b，但a2当a＝－2，b＝1时，a2>b2，但ab”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误.
对于C，由a<3 a<5，∴“a<5”是“a<3”的必要条件，故C正确.
显然“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件.
故选CD.
【练综合】
1. 已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件。
故选B.
2. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
【解析】因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙丙，如图．综上，有丙 甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
故选A.
3. 若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】由A∪B＝C知，x∈A x∈C，x∈Cx∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．
故选B.
4. “函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方，
则Δ＝4a2－4a<0，解得0由于{a|0∴“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的充分不必要条件.
故选A.
5. 已知“p：x>m＋3或x【解析】因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
6. 已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
【证明】先证充分性：
若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，
因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，
即a＋b＝1成立，
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
【练思维】
1. 设p：≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，所以解得0≤a≤.
2. 若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件.
【解析】(1)集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，
若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3.(答案不唯一，只要b的取值范围真包含{b|b≥－2}即可).
(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个充分不必要条件是b≥－1.(答案不唯一，只要b的取值范围是{b|b≥－2}的非空真子集即可).
3. 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．
【解析】当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题目要求；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
它有实根的充要条件为：Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.
设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝.
①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是，解得a＜0；
②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是，解得0＜a≤1.
综上所述，a≤1为所求．
4. 设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
【解析】①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝，|x|＋|y|＝，所以等式成立.
当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.
当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立.
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立.
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋成立.
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
得|x＋＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
所以＝xy，所以xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式＝|x|＋|y|成立的充要条件.
【练创新】
1. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】因为A，B两个几何体等高，所以由祖暅原理得，若A，B的体积不相等，则等高处的截面面积不恒相等，若恒相等，则A，B的体积相等，所以p q。当等高处截面面积不恒相等时，A，B的体积有可能相等，例如：A，B为两个一模一样的圆锥，一个底面向上放置，一个底面向下放置，则在等高处的截面面积不恒相等，但它们体积相等，故q推不出p.因此p是q的充分不必要条件.
故选A.
2. 在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？
【解析】由题意知A＝{x|0≤x≤4}，
若选①，则A是B的真子集，
所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)，
又a>0，解得0所以存在a，a的取值集合M＝{a|0若选③，则A＝B，
所以1－a＝0且1＋a＝4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)