福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 945.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-09 23:36:11 | ||
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文档简介
龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上．
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．投掷一个骰子，记事件，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球．若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
9．下列说法正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心
C．在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大
D．利用独立性检验推断“A与B是否有关”，根据数据算得，已知，，则有超过97.5%的把握认为A与B无关
10．若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数则下列选项正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的单调减区间为，
C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
12．在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．当线段MN取最小值时，
D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知空间向量，，若，则________．
14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为________．
15．在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为________．
16．函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知函数．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间．
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．
19．（本题满分12分）
第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见右表）．
分组（百分制） 频数 频率
10 0.1
20 0.2
30 0.3
25 0.25
15 0.15
合计 100 1
（1）由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求；
（2）预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进人复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．
附：若，则，，；．
20．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．（本题满分12分）
三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（人次） 12 22 42 68 132 202 392
4.24 870 5070 134.82 140 6.96 1.78
表中，．
（1）（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
（2）此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．
附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，且，是的两个零点，，证明：．
龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C B C D B
第7题简析：，令，所以，所以，又，所以，又，所以，所以．
第8题简析：因为，构造，易得：，所以，又易得，令，得，所以，即，所以，综上．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 AB CD ABD BCD
第11题简析：作出函数的图象，由图象可知A正确，B正确
对于C选项或，由函数的图象可知或，故C错误．
对于D选项或，由函数的图象可知
第12题简析：由题意知点在上动点，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，所以，所以A错误；
易得平面，所以，所以B正确；
当线段取最小值时，是的中点，为圆弧的中点，所以，所以，所以，所以C正确；
当时，与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，显然平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，所以D正确．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
第16题简析：法一：依题意：在上恒成立，
设，
令，，则在上单调递增，，，所以使，
当时，在单调递减；当时，在单调递增，，由得，设，则，在上单调递增，所以，即，故，所以
法二：，可证，当且仅当时取“”，令，即
当，即时，，此时不等式恒成立；
当，即时，设，在上单调递增，，，使，
即，与恒成立矛盾，故舍去，综上，．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）
解：（1）因为所以．
所以，……1分
所以，……2分
又，
所以曲线在点处的切线方程为：．……4分
（2）由函数在处取得极值可知：
，即，解得：．……6分
此时，，，
当时，，
当时，，
所以符合题意．
综上，的单调递增区间为，的单调递减区间为．
……10分
18．（本题满分12分）
证明：（1）证明：如图所示，取中点，连接．……1分
分别为的中点，
，且．
又由已知，可得且，
四边形为平行四边形，
．．……3分
又平面，平面．
平面．……4分
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，……5分
则．
由为棱的中点，得．
向量，．
设为平面的法向量，
则．
不妨令，得，即为平面的一个法向量．……8分
又向量，
设直线与平面所成角为，
．……11分
直线与平面所成角的正弦值为．……12分
19．（本题满分12分）
解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：
，……2分
又由，，
．
……5分
（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数，……6分
．
的概率分布列为
0 1 2
……10分
的数学期望为．……12分
20．（本题满分12分）
解：（1）如图，在直三棱柱中，
，∴矩形为正方形，
又E是的中点，
．……1分
又平面平面，
平面平面，
且平面．
平面．……3分
又平面，
．……4分
（2）在直三棱柱中，平面．
又平面，
．
又，
平面且相交，
平面．
所以两两垂直．
所以如图以为原点，建立空间直角坐标系．……6分
的面积为，
．
则，
．
设，
．
又，
设平面的法向量，
则，
不妨取，则，
∴，……8分
由（1）平面，∴平面的一个法向量，……9分
．……11分
解得．
又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，
综上，在上存在一点D，此时，
使得二面角的大小为．……12分
21．（本题满分12分）
解：（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型．……2分
（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，
令．则由题意知，
又，
所以，
所以，所以，……4分
，，
则关于的回归方程为．……6分
（2）依题意服从超几何分布，
当时，，
当时，，记，……8分
则，
由解得，……10分
所以当时，
当时，
当时，
故当或时最大，所以的估计值为．……12分
22．（本题满分12分）
解：（1），……1分
①若，则，即在单调递减，
②若，令，有，令，有，
即在单调递减，在单调递增，……3分
综上：，在单调递减，
若，在单调递减，在单调递增．……4分
（2），
令得：，
因为，，因为是的两个零点，
所以，，……6分
所以，
，……7分
要证明，
只需证，
即证明
变形为，令，
则证明，……9分
设，，在单调递增，
所以，即，
设，，在单调递减，
所以，，即，，
综上：．……12分
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第I卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上．
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．投掷一个骰子，记事件，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知直三棱柱中，，，，D是的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知甲、乙盒子各装有形状大小完全相同的小球，其中甲盒子内有2个红球，1个白球；乙盒子内有3个红球，2个白球．若第一次先从甲盒子内随机抽取1个球放入乙盒子中，则第二次从乙盒子中抽1个球是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡上．
9．下列说法正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．运用最小二乘法求得的回归直线一定经过样本中心
C．在一个列联表中，计算得到的值，若的值越小，则可以判断两个变量有关的概率越大
D．利用独立性检验推断“A与B是否有关”，根据数据算得，已知，，则有超过97.5%的把握认为A与B无关
10．若函数在区间内有最小值，则实数m的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数则下列选项正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．函数的单调减区间为，
C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
12．在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．当线段MN取最小值时，
D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为
第II卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知空间向量，，若，则________．
14．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为________．
15．在棱长为2的正方体中，P是侧面上的动点，且满足，则的最小值为________．
16．函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知函数．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，求的单调区间．
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．
19．（本题满分12分）
第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见右表）．
分组（百分制） 频数 频率
10 0.1
20 0.2
30 0.3
25 0.25
15 0.15
合计 100 1
（1）由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求；
（2）预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进人复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．
附：若，则，，；．
20．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．
（1）求证：；
（2）若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．（本题满分12分）
三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（人次） 12 22 42 68 132 202 392
4.24 870 5070 134.82 140 6.96 1.78
表中，．
（1）（i）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
（2）此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．
附：对于样本（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，且，是的两个零点，，证明：．
龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D C B C D B
第7题简析：，令，所以，所以，又，所以，又，所以，所以．
第8题简析：因为，构造，易得：，所以，又易得，令，得，所以，即，所以，综上．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 AB CD ABD BCD
第11题简析：作出函数的图象，由图象可知A正确，B正确
对于C选项或，由函数的图象可知或，故C错误．
对于D选项或，由函数的图象可知
第12题简析：由题意知点在上动点，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，所以，所以A错误；
易得平面，所以，所以B正确；
当线段取最小值时，是的中点，为圆弧的中点，所以，所以，所以，所以C正确；
当时，与重合，与垂直的平面，即与体对角线垂直的平面，显然平面，而与平面平行且面积最大的截面应当过正方体的中心，此时截面为边长是的正六边形，所以截面面积的最大值为，所以D正确．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．
第16题简析：法一：依题意：在上恒成立，
设，
令，，则在上单调递增，，，所以使，
当时，在单调递减；当时，在单调递增，，由得，设，则，在上单调递增，所以，即，故，所以
法二：，可证，当且仅当时取“”，令，即
当，即时，，此时不等式恒成立；
当，即时，设，在上单调递增，，，使，
即，与恒成立矛盾，故舍去，综上，．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）
解：（1）因为所以．
所以，……1分
所以，……2分
又，
所以曲线在点处的切线方程为：．……4分
（2）由函数在处取得极值可知：
，即，解得：．……6分
此时，，，
当时，，
当时，，
所以符合题意．
综上，的单调递增区间为，的单调递减区间为．
……10分
18．（本题满分12分）
证明：（1）证明：如图所示，取中点，连接．……1分
分别为的中点，
，且．
又由已知，可得且，
四边形为平行四边形，
．．……3分
又平面，平面．
平面．……4分
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，……5分
则．
由为棱的中点，得．
向量，．
设为平面的法向量，
则．
不妨令，得，即为平面的一个法向量．……8分
又向量，
设直线与平面所成角为，
．……11分
直线与平面所成角的正弦值为．……12分
19．（本题满分12分）
解：（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：
，……2分
又由，，
．
……5分
（2）由题意，抽取2人进入复赛的人数，……6分
．
的概率分布列为
0 1 2
……10分
的数学期望为．……12分
20．（本题满分12分）
解：（1）如图，在直三棱柱中，
，∴矩形为正方形，
又E是的中点，
．……1分
又平面平面，
平面平面，
且平面．
平面．……3分
又平面，
．……4分
（2）在直三棱柱中，平面．
又平面，
．
又，
平面且相交，
平面．
所以两两垂直．
所以如图以为原点，建立空间直角坐标系．……6分
的面积为，
．
则，
．
设，
．
又，
设平面的法向量，
则，
不妨取，则，
∴，……8分
由（1）平面，∴平面的一个法向量，……9分
．……11分
解得．
又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意，
综上，在上存在一点D，此时，
使得二面角的大小为．……12分
21．（本题满分12分）
解：（1）（ⅰ）根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次关于活动推出天数的回归方程类型．……2分
（ⅱ）由（ⅰ）知，，两边同时取对数得，
令．则由题意知，
又，
所以，
所以，所以，……4分
，，
则关于的回归方程为．……6分
（2）依题意服从超几何分布，
当时，，
当时，，记，……8分
则，
由解得，……10分
所以当时，
当时，
当时，
故当或时最大，所以的估计值为．……12分
22．（本题满分12分）
解：（1），……1分
①若，则，即在单调递减，
②若，令，有，令，有，
即在单调递减，在单调递增，……3分
综上：，在单调递减，
若，在单调递减，在单调递增．……4分
（2），
令得：，
因为，，因为是的两个零点，
所以，，……6分
所以，
，……7分
要证明，
只需证，
即证明
变形为，令，
则证明，……9分
设，，在单调递增，
所以，即，
设，，在单调递减，
所以，，即，，
综上：．……12分
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