宝坻区第四高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题 解析
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的交集运算，可直接求得答案.
【详解】由于集合，，故，
故选：B
2．的展开式中常数项为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
【答案】C
【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可
【详解】展开式的通项公式为，令有，故的展开式中常数项为
故选：C
3．若函数的图象过点，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】A
【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.
【详解】解：由已知得，所以，解得：，
故选：A．
4．某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为门，则下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用超几何分布的概率求解.
【详解】解：某校开设了15门校本课程，要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程则有种选法，
因为人文社科类6门，该学生选择的人文社科类的校本课程为5门则有种选法，
然后从其他9门课程中选3门有选法，
所以该学生选择的人文社科类的校本课程为5门的概率为，
故选：D
5．的值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2
【答案】A
【分析】由排列数定义计算．
【详解】
故选：A．
6．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先判断当时，一定有成立，再利用反证的思想说明当时,一定有成立，即可判断出答案.
【详解】当时，，故，
当且仅当时取等号，故，
当时,一定有成立，否则，则成立，与矛盾，
故“”是“”的充要条件，
故选：C
7．已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
【答案】D
【分析】根据分布列的性质求出，再根据期望公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，解得，
所以；
故选：D
8．已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64种 B．81种 C．7种 D．12种
【答案】A
【分析】由分步计数原理计算．
【详解】3位居民依次选择检测点，方法数为．
故选：A．
9．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
【答案】D
【分析】根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可
【详解】对A，在上，故函数在上单调，故A错误；
对B，，故函数在的切线的斜率大于0，故B错误；
对C，左右两边都有，故不是函数的极小值点；
对D，且在左侧，右侧，故是函数的极大值点，故D正确；
故选：D
二、填空题
10．函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案.
【详解】由可知： ，故，
即函数的定义域为，
故答案为：
11．已知事件A，B相互独立，，，则___________.
【答案】/
【分析】求出A,B同时发生的概率，再根据条件概率的计算公式进行计算即可.
【详解】由题意可得，事件A，B相互独立，
则 ,
故,
故答案为：0.4
12．将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同.已知袋子中红球与黄球个数之比为，其中的红球印有商标，的黄球印有商标.现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为___________.
【答案】
【分析】本题考查全概率公式理解与应用，小球印有商标有两个来源，其一是红球印有商标，其二是黄球印有商标，根据题意分别计算其概率，根据全概率公式计算印有商标的概率.
【详解】设抽取一个小球为红球为事件，红球印有商标为事件，
抽取一个小球为黄球为事件，黄球印有商标为事件，
小球印有商标为事件，由题意，，，，
则.
故答案为：.
13．某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有___________种.
【答案】6
【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得．
【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为．
故答案为：6．
14．已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为，其中A型号产品优秀率为，B型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为___________.
【答案】/0.78
【分析】根据全概率公式直接求解.
【详解】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：.
故答案为：.
15．已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.
【答案】8
【分析】根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为直线过圆心，所以，
因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时取等号，即时取等号，
故答案为：8
三、解答题
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程，
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数求导后，令，求出函数的极值点，再求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值
（1）
由，得
，，
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，即，
（2）
函数的定义域为，
由（1）可知，
令，则，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以的最小值为
17．已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值.
（2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域.
【详解】（1）解：因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
即．
（2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线．
因为在递减，在递增，所以，
因为，，
所以，
所以在上的值域为．
18．毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具.已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时.这件作品才算制作成功，
(1)求小萌同学制作一件作品成功的概率；
(2)若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立.设其中成功的作品数为.求的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)的分布列见解析，
【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得出；（2）先确定，写出的可能值，再求出对应的概率即可作答.
【详解】（1）根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学学制作一作品成功的概率 为：.
（2）根据题意知，的可能值为：显然，则
所以的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望：
19．已知函数.
(1)求的极大值；
(2)若图象上的点都在直线的下方，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，判断函数的单调性，确定极值点，从而求得极值；
（2）结合（1）作出函数的大致图象，利用导数的几何意义求出直线和图象相切时的斜率值，再根据图象上的点都在直线的下方，即可确定的取值范围.
(1)
由题意得，，
当时，，递增，当时，，递减，
故是函数的极大值点，函数的极大值为；
(2)
由可知，当x趋近于0时， ，
当时，，结合（1）,作出函数的大致图象如图：
直线过定点，先求直线和图象相切时的斜率值；
设切点为，则，而 ，
故，则，
由于函数是单调增函数，且时，，
故由可得 ，则，此时，
即直线和曲线相切时，切点为，
若图象上的点都在直线的下方，则，
故的取值范围是.
20．已知函数.
(1)求单调区间；
(2)求在区间上的最值.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)最小值为，最大值为4
【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.
【详解】（1）定义域为R，
，
令得：或，
令得：，
所以单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，
又因为，而，
所以，
所以在区间上的最小值为，最大值为4宝坻区第四高级中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的展开式中常数项为（ ）
A．30 B．20 C．15 D．10
3．若函数的图象过点，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
4．某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门.学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程.从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为门，则下列概率中等于的是（ ）
A． B． C． D．
5．的值为（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2
6．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
X 0 1 2
P 0.2 a 0.5
A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3
8．已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64种 B．81种 C．7种 D．12种
9．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（ ）
A．函数在上不单调
B．函数在的切线的斜率为0
C．是函数的极小值点
D．是函数的极大值点
二、填空题
10．函数的定义域为___________.
11．已知事件A，B相互独立，，，则___________.
12．将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同.已知袋子中红球与黄球个数之比为，其中的红球印有商标，的黄球印有商标.现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为___________.
13．某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有___________种.
14．已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为，其中A型号产品优秀率为，B型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为___________.
15．已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是_________.
三、解答题
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程，
(2)求的最小值.
17．已知二次函数，，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
18．毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具.已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格时.这件作品才算制作成功，
(1)求小萌同学制作一件作品成功的概率；
(2)若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立.设其中成功的作品数为.求的分布列及期望.
19．已知函数.
(1)求的极大值；
(2)若图象上的点都在直线的下方，求的取值范围.
20．已知函数.
(1)求单调区间；
(2)求在区间上的最值.
