1.1集合的概念
一、单选题
1.下列元素的全体不能组成集合的是( )
A.中国古代四大发明 B.地球上的小河流
C.方程的实数解 D.周长为的三角形
2.下列关系正确的是( )
A.0.5∈N B.
C. D.
3.设集合,若,则实数m=( )
A.0 B. C.0或 D.0或1
4.集合用描述法可表示为( )
A. B. C. D.
5.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
6.已知关于x的方程的解集只有一个元素,则m的值为( )
A.2 B. C. D.不存在
7.以方程和的解为元素的集合含有的元素个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设,,为非零实数,则的所有值所组成的集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知集合中有个元素,,,且当时,,则可能为( )
A.
B.
C.
D.或或
10.以下命题中正确的是( )
A.所有正数组成的集合可表示为
B.大于2020小于2023的整数组成的集合为
C.全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}
D.中的元素比中的元素只多一个元素0,它们都是无限集
11.方程组的解集可表示为( )
A. B.
C.{1,2} D.
12.在整数集中,被除所得余数为的所有整数组成一个“类”,记为,即,,,,,,给出如下四个结论,其中,正确结论的是( )
A.
B.
C.若整数,属于同一“类”,则
D.若,则整数,属于同一“类”
三、填空题
13.若M为关于x的一元二次方程-ax-5=0的解集,且-5∈M,则集合M中所有元素之和为_________.
14.已知,.若,则______.
15.已知,集合中有且只有三个整数,则符合条件的实数a的一个值是____________.
16.定义集合 的一种运算:,若,,则___________.
四、解答题
17.判断下列各组对象能否构成集合.若能构成集合,指出是有限集还是无限集;若不能构成集合,试说明理由.
(1)北京各区县的名称;
(2)尾数是5的自然数;
(3)我们班身高大于1.7m的同学.
18.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程组 的解集;
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合;
(3)方程的实数根组成的集合;
(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合;
(5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
19.已知集合中有三个元素:,,,集合中也有三个元素:0,1,.
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的值.
20.已知集合M中含有三个元素2,a,b,集合N中含有三个元素2a,2,b2,且两集合相等,求a,b的值.
21.已知集合.
(1)若A中只有一个元素,求的值;
(2)若A中至少有一个元素,求的取值范围.
22.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).
求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;
(2)集合A不可能是单元素集.
答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.C
7.C
8.C
9.AB
10.AD
11.ABD
12.ACD
13.-4
14.
15.2(答案不唯一)
16.
17.(1)因为北京各区县的名称是确定的,故北京各区县的名称能构成集合;因为北京各区县是有限的,故该集合为有限集;
(2)因为尾数是5的自然数是确定的,故尾数是5的自然数能构成集合;因为尾数是5的自然数是无限的,故该集合为无限集;
(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的,故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合;因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的,故该集合为有限集.
18.(1)解方程组得,故解集可用描述法表示为,也可用列举法表示为.
(2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个,分别为3,5,7,11,故可用列举法表示为.
(3)方程的实数根为2,因此可用列举法表示为,也可用描述法表示为.
(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合中,代表元素为有序实数对,其中x,y满足,
由于点有无数个,则用描述法表示为.
(5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y,是实数,故可用描述法表示为.
19.(1)集合中有三个元素:,,,,
或,
解得或,
当时,,,,成立;
当时,,,,成立.
的值为0或.
(2)集合中也有三个元素:0,1,,,
当取0,1,时,都有,
集合中的元素都有互异性,,,
.
实数的值为.
20.由题意,得或
解得或或
经检验,a=0,b=0不合题意;a=0,b=1或a=,b=合题意.
所以,a=0,b=1或a=,b=.
21(1)由题意,当时,,得,集合A只有一个元素,满足条件;当时,
为一元二次方程,,得,集合A只有一个元素,
A中只有一个元素时或.
(2)由A中至少有一个元素包含两种情况,一个元素和两个元素,A中有两个元素时,并且
,得且,再结合A中一个元素的情况,的取值范围为.
22.(1)若a∈A,则∈A.
又∵2∈A,∴=-1∈A.
∵-1∈A,∴=∈A.
∵∈A,∴=2∈A.
∴A中另外两个元素为-1,.
(2)若A为单元素集,则a=,
即a2-a+1=0,方程无解.
∴a≠,∴集合A不可能是单元素集.