26.3二次函数实践与探索(B卷)有答案[下学期]

26.3实践与探索(B卷)
(100分 70分钟)
一、学科内综合题:(每题6分,共12分)
1.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.
(1)求矩形各顶点坐标;
(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;
(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD内部,并说明理由.
2.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=.
(1)求这条抛物线的关系式.
(2)证明:这条抛物线与x轴的两个交点中,必存在点C,使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD.
二、学科间综合题:(9分)
3.如图所示,长为1.2m的轻质杆OA可绕竖直墙上的O点自由转动,A端挂有G=8N的吊灯.现用长为0.8m的细绳,一端固定在墙上C点,另一端固定在杆上B点,而使杆在水平位置平衡.试求OB为多长时绳对杆的拉力最小,最小拉力为多少
三、实践应用题:(每题6分,共24分)
4.利用函数图象求2x2-x-3=0的解.
5.利用函数图象求方程组 的解.
6.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;
(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m处出手.问:球出手时,他跳离地面多高
7.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元, 已知P=x2+5x+1000,Q=-+45.
(1)该厂生产并售出x吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;
(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多 这时获利多少元 这时每吨的价格又是多少元
四、创新题:(30分)
(一)教材中的变型题(14分)
8.(教材P22问题3变型)画出函数y=x2-x- 的图象,根据图象回答问题:
(1)图象与x轴交点A的坐标_________,B点的坐标________,与y轴交点C 的坐标________,=________.(A点在B点左边).
(2)该函数的对称轴方程为_______,顶点P的坐标________,=______.
(3)当______时,y≤0;当x_______时,y≥0.
(4)抛物线开口向________,函数y有最_____值;当x=_____时,y最值=______.
(二)多解题(8分)
9.已知抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.
(三)多变题(8分)
10.如图所示,在直角坐标系xOy中,A,B是x轴上两点,以AB为直径的圆交y轴于点C,设过A、B、C三点的抛物线关系为y=x2-mx+n,若方程x2-mx+n=0两根倒数和为-2.
(1)求n的值;
(2)求此抛物线的关系式.
五、中考题:(25分)
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2= 17, 且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.
(1)求C点的坐标;
(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过A、B、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.
(3)在抛物线上是否存在点P,使△ABP与△ABC全等 若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.
12.已知抛物线L;y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0), 它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c)我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:
伴随抛物线的关系式_________________
伴随直线的关系式___________________
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.
13.已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0参考答案:
一、
1.解:(1)如答图所示.
∵y=x-2,AD=BC=2,设C点坐标为(m,2),
把C(m,2)代入y=x-2,
2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1,
∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).
(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).
设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
∴, 解得
∴y=.
(3)抛物线顶点在矩形ABCD内部.
∵y=, ∴顶点为.
∵, ∴顶点 在矩形ABCD内部.
2.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,
∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=.
∴, 解得
∴y=.
(2)证明:令y=0,得=0, ∴
∵A(0,3),取A点关于x轴的对称点E,∴E(0,-3).
设直线BE的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,
∴k=,∴y=x-3 .
由 x-3=0,得x= .
故C为,C点与抛物线在x轴上的一个交点重合,
在x轴上任取一点D,在△BED中,BE< BD+DE.
又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC若D与C重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD.
二、
3.解:过点O作OD⊥CB,D为垂足.
由杠杆的平衡条件,有G·OA= F·OD,即F=G×.①
①式中分子的G和OA均为恒量,当OD最大时F最小,
又在Rt△OCB中,OD2=CD·BD=CD(0.8-CD)=0.8CD-CD2.②
当CD==0.4(m)时,OD最大,OD2最大= =0.16(m)2,
∴OD最大=0.4m.
此时,△OBD为等腰直角三角形,OB=BD=0.4×≈0.57(M).
将G=8N,OA=1.2m,OB≈0.57m,代入①式, 得F=24N.
因此,当OB约为0.57m时细绳的拉力最小,最小拉力为24N.
三、
4.解:列表
x … -2 -1 0 1 2 …
y=2x2-x-3 … 7 0 -3 -2 3 …
描点,连线,画出函数y=2x2-x-3的图象,如答图所示,
由图象得出抛物线与x轴两交点坐标A,B(-1,0),
故方程2x2-x-3=0的解为x1=, x2=-1.
5.解:在同一坐标系中画出函数
y=-3x-1与y=x2-x的图象,如答图所示,
由图象观察得出y=-3x-1与y=x2-x的交
点有且只有一个,即A点,并且A点坐标为(-1,2).
∴ 的解为.
6.解:(1)图中各点字母表示如答图所示.
∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5.
∴点D坐标为(1.5,3.05).
∵抛物线顶点坐标(0,3.5),
∴设所求抛物线的关系式为y=ax2+3.5,
把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5,
∴a=-0.2,∴y=-0.2x2+3.5
(2)∵OA=2.5,∴设C点坐标为(2.5,m),
∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x2+3.5,
得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.
∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).
7.解:(1)∵P=x2+5x+1000,Q=-+45.
∴W=Qx-P=(-+45)-(x2+5x+1000)= .
(2)∵W==-(x-150)2+2000.
∵-<0,∴W有最大值.
当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元.
当x=150吨,Q=-+45=40(元).
四、(一)
8.如答图所示.
(1)
(2)直线x=;
(3)
(4)上;小;;-1
(二)
9.解:∵y=2x2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k2+8>0,
∴无论k为何实数, 抛物线y=2x2-kx-1与x轴恒有两个交点.
设y=2x2-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x1,x2,且规定x1<2,x2> 2,
∴x1-2<0,x2-2>0.
∴(x1-2)(x2-2)<0,∴x1x2-2(x1+x2)+4<0.
∵x1,x2亦是方程2x2-kx-1=0的两个根,
∴x1+x2=,x1·x2=-,
∴,∴k>.
∴k的取值范围为k>.
法二:∵抛物线y=2x2-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,
∴此函数的图象大致位置如答图所示.
由图象知:当x=2时,y<0.
即y=2×22-2k-1<0,∴k>.∴k的取值范围为k>.
(三)
10.解:(1)由题意,设A(x1,0),B(x2,0),C(0,n)
∵OA=-x1,OB=x2,又CO⊥AB,CO2=AO·OB,即n2=-x1x2.
又∵x1,x2是方程x2-mx+n=0的两根,
∴x1+x2=n,∴n2=-n,∴n1=-1,n2=0(舍去) ,∴n=-1.
(2)∵x1,x2是方程x2-mx+n=0的两根,∴x1+x2=m.
又∵n=-1,∴x1x2=-1,
∴,∴m=2,
∴所求抛物线的关系式为y=x2-2x-1.
五、
11.解:(1)线段OA,OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0 的两个根,
∴
又∵OA2+OB2=17,∴(OA+OB)2-2·OA·OB=17.③
把①,②代入③,得m2-4(m-3) =17,∴m2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.
又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.
∴当m=5时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4.
∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB,
∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2)
(2)∵OA=1,OB=4,C,E两点关于x轴对称,
∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).
设经过A,B,E三点的抛物线的关系式为
y=ax2+bx+c,则 ,解之,得
∴所求抛物线关系式为y=.
(3)存在.∵点E是抛物线与圆的交点.
∴Rt△ACB≌Rt△AEB,∴E(0,-2)符合条件.
∵圆心的坐标(,0 )在抛物线的对称轴上.
∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.
∴点E关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意.
∴可求得E′(3,-2).
∴抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
12.解:(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.
(2)y=x2-2x-3
(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),
∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).
∴设抛物线过P,
∴
解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax2+c.
设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).
∵P在此直线上,∴, ∴k=.
∴伴随直线关系式为y=x+c
(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2-4ac>0,∴b2<4ac.
∵x2>x1>0,∴x1+ x2= ->0,x1x2=>0,∴ab<0,ac>0.
对于伴随抛物线y=-ax2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax2+c=0,得x=.
∴,∴CD=2.
又AB=x2-x1=.
由AB=CD,得 =2, 整理得b2=8ac,综合b2>4ac,ab<0,ac>0,b2=8ac,得a,b,c满足的条件为b2=8ac且ab<0,(或b2=8ac且bc<0).
13.(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m- 5)2.
不论m取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,故抛物线与x轴必有交点.
又∵x轴上点的纵坐标均为零,∴令y=0,代入y=mx2-(m+5)x+5,得
mx2-(m+5)x+ 5=0,(mx-5)(x-1)=0,
∴x=或x=1.故抛物线必过x轴上定点(1,0).
(2)解:如答图所示,∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,
得0=1+k,∴k=-1,∴y=x-1.
又∵抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0∵x1x2>0,∴x1=1, x2=5,∴A(1,0),B(5,0),
把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5.
∴m=1,∴y=x2-6x+5.
∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,
∴M点的横坐标x1+=1+.
把x=3代入y=x-1,得y=2.
∴圆心M(3,2),∴半径r=MA=MB= ,
∴MA2=MB2=8.
又AB2=42= 16,∴MA2+MB2=AB2,
∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,
∴S弓形ACB=S扇形AMB- S△ABM=.