1.1.1空间向量及其线性运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共24张PPT)
文档属性
| 名称 | 1.1.1空间向量及其线性运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共24张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 546.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-10 06:16:32 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
1.1.1
空间向量及其线性运算
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.感受向量及其运算由平面到空间的推广过程，了解空间向量的概念；
2.掌握空间向量的加、减、数乘运算及其表示，掌握运算律；
3.核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模.
一、情境导入
在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、不同大小的力，例如拉力、风力、重力等。
二、新课讲授
问题1：平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
平面向量：平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量。平面向量的大小叫做向量的模或长度，记作或丨a丨
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量，称为平面向量。平面向量的大小叫做向量的模或长度，记作或丨a丨
1、空间向量的相关的概念
问题2：如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示给出空间向量的表示吗？
平面向量的表示 空间向量的表示
1、有向线段 2、字母a，b，c…… 3、坐标表示：a=（x,y） 1、有向线段
、 、
2、字母a，b，c……
3、坐标表示：a=（x,y,z）
B
A
a
问题3：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新概念。你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
零向量：模为0 的向量，记作0；零向量的方向是任意。
单位向量：模为1 的向量。
相等向量：模和方向都相同的两个向量，记作a=b。
相反向量：模相同，方向相反的两个向量，为0 的向量，记作a=-b
平面向量的相关概念 空间向量的相关概念
共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作a∥b； 规定：零向量和任意向量共线 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量就做共线向量或平行向量，记作a∥b；
规定：零向量和任意向量共线
问题1：平面向量的线性运算由哪些？我们如何研究这些运算的？
2、空间向量的线性运算
平面向量的线性运算由加法、减法和数乘运算。我们先研究了它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。
问题2：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
1.加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2.数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
1.加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
1.加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2.数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
2.数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
问题3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得到空间向量线性运算的运算律吗？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
猜想
问题4：空间向量线性运算的运算律的证明，和平面向量有哪些异同？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
问题5：如何证明空间向量加法结合律？
在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，记=a，=b，=c
则a+(b+c)= +(+ )= +
=
(a+b)+c=( +)+ = +
=
∴a+(b+c)=(a+b)+c
问题5：如何证明空间向量加法结合律？
结论：一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以点O为起点，a，b，c为邻边做平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体的体对角线所示的向量。
3、空间向量线性运算的运用
问题1：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间像狼是否也成立呢？
平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件
对于任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使得a=λb
对于任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，
使得a=λb
如右图，O是直线l上一点，在实现l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数λ，使得=λa。也就是说，直线可以由线上一点和它的方向向量确定。
问题2：任意两个空间先能够两个都可以通过平移，移到同一平面内，那三个向量呢？
任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面。
如何判断三个空间向量共面呢？
问题3：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？
平面向量基本定理 空间向量共面的充要条件
若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，
使得：p=xa+yb
两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使得：p=xa+yb
例1 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使= = = =k．求证：E，F，G，H四点共面。
三、巩固新知
证明：因为= = = =k ，所以=k , =k , =k , =k .
因为四边形ABCD是平行四边形，所以=+ .
因此 = = k k = k
=k(+ )= k( + )
= - + - = +
由向量共面的充要条件可知,, , 共面，又, , 过同一点E，从而E，F，G，H四点共面。
四、课堂小结
1、空间向量的概念：定义、表示法、相关概念。
2、空间向量的线性运算：加、减、数乘运算及其运算律。
3、线性运算的应用：直线的方向向量；向量共面。
五、作业布置
课本P5：练习 第4、5题
1.1.1
空间向量及其线性运算
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.感受向量及其运算由平面到空间的推广过程，了解空间向量的概念；
2.掌握空间向量的加、减、数乘运算及其表示，掌握运算律；
3.核心素养：数学抽象、数学运算、数学建模.
一、情境导入
在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、不同大小的力，例如拉力、风力、重力等。
二、新课讲授
问题1：平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
平面向量：平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量。平面向量的大小叫做向量的模或长度，记作或丨a丨
空间向量：空间中，既有大小又有方向的量，称为平面向量。平面向量的大小叫做向量的模或长度，记作或丨a丨
1、空间向量的相关的概念
问题2：如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示给出空间向量的表示吗？
平面向量的表示 空间向量的表示
1、有向线段 2、字母a，b，c…… 3、坐标表示：a=（x,y） 1、有向线段
、 、
2、字母a，b，c……
3、坐标表示：a=（x,y,z）
B
A
a
问题3：从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新概念。你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
零向量：模为0 的向量，记作0；零向量的方向是任意。
单位向量：模为1 的向量。
相等向量：模和方向都相同的两个向量，记作a=b。
相反向量：模相同，方向相反的两个向量，为0 的向量，记作a=-b
平面向量的相关概念 空间向量的相关概念
共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作a∥b； 规定：零向量和任意向量共线 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量就做共线向量或平行向量，记作a∥b；
规定：零向量和任意向量共线
问题1：平面向量的线性运算由哪些？我们如何研究这些运算的？
2、空间向量的线性运算
平面向量的线性运算由加法、减法和数乘运算。我们先研究了它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。
问题2：平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
1.加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2.数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
1.加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
1.加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。
法则：三角形和平行四边形法则
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2.数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
2.数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λ a，起长度和方向规定如下：。
①丨λ a丨=丨λ 丨丨 a丨
②若λ＞0， λa与a方向相同；
若λ＜0， λa与a方向相反；
若λ=0， λa=0.
问题3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得到空间向量线性运算的运算律吗？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
猜想
问题4：空间向量线性运算的运算律的证明，和平面向量有哪些异同？
平面向量的线性运算 空间向量的线性运算
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
2. 运算律：
①交换律：a+b=b+a
②结合律：a+(b+c)=(a+b)+c
λ (μa)=(λμ)a
③分配律：( λ +μ)a=λa+μa
λ (a+b)=λa+λb
问题5：如何证明空间向量加法结合律？
在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，记=a，=b，=c
则a+(b+c)= +(+ )= +
=
(a+b)+c=( +)+ = +
=
∴a+(b+c)=(a+b)+c
问题5：如何证明空间向量加法结合律？
结论：一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以点O为起点，a，b，c为邻边做平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体的体对角线所示的向量。
3、空间向量线性运算的运用
问题1：你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间像狼是否也成立呢？
平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件
对于任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ， 使得a=λb
对于任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，
使得a=λb
如右图，O是直线l上一点，在实现l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数λ，使得=λa。也就是说，直线可以由线上一点和它的方向向量确定。
问题2：任意两个空间先能够两个都可以通过平移，移到同一平面内，那三个向量呢？
任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面。
如何判断三个空间向量共面呢？
问题3：你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？
平面向量基本定理 空间向量共面的充要条件
若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，
使得：p=xa+yb
两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使得：p=xa+yb
例1 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使= = = =k．求证：E，F，G，H四点共面。
三、巩固新知
证明：因为= = = =k ，所以=k , =k , =k , =k .
因为四边形ABCD是平行四边形，所以=+ .
因此 = = k k = k
=k(+ )= k( + )
= - + - = +
由向量共面的充要条件可知,, , 共面，又, , 过同一点E，从而E，F，G，H四点共面。
四、课堂小结
1、空间向量的概念：定义、表示法、相关概念。
2、空间向量的线性运算：加、减、数乘运算及其运算律。
3、线性运算的应用：直线的方向向量；向量共面。
五、作业布置
课本P5：练习 第4、5题