26.3二次函数实践与探索(答案)(C卷)[下学期]

26.3 实践与探索(C卷)
(30分 30分钟)
一、探究题:(10分)
1.有一抛物线型的立交桥,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m. 现把它的图形放在平面直角坐标系里,如图所示,若在离跨度中点M5m 处垂直竖立一铁柱支撑拱顶,该铁柱应取多长
二、竞赛题:(10分)
2.已知如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A在第一象限,点A的纵坐标为3,∠AOx=60°.若有一点C,使∠AOC=30°,且线段OA+OC=2+4.
(1)求点C的坐标;
(2)若点B在Ox轴上,点C在第一象限,使△COB与△AOC相似.问是否存在一个二次函数,其图象经过A、B、C三点 若不存在,请说明理由;若存在,求出这个二次函数的关系式.
三、趣味题:(10分)
3.如图所示,E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点,CE=1,CF=. 直线FE交AB的延长线于G,过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG,HN⊥AD,垂足分别为M、N.
设HM=x,矩形AMHN的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x为何值时,矩形AMHN的面积最大 最大面积是多少
参考答案:
一、
1.解:由题意可设抛物线的关系式为y=a(x-20)2+16,
∴(20,16)为顶点坐标,
又∵(0,0),(40,0)在图象上,0=a(0-20)2+16,a=.
∴,
∴M(20,0)
又∵离M5m处有两点,横坐标分别为x1=15,x2=25,
将x1=15,x2=25分别代入关系式, 得
y1= ,
∴y1=y2=15,
∴该铁柱应取15m.
二、
2.解:(1)如答图所示,作AD⊥x轴,垂足为D,
则AD=3.在Rt△AOD中,∠AOD= 60°,
∵sin60°=,∴OA=
∵OA+OC=2+4,∴OC=4.
当OC在OA的左边时,且OC=4,∠AOC=30°,
故C点在y轴的正半轴上,∴C(0,4).
当OC在OA的右边时,且OC=4,∠AOC=30°,
作CE⊥x轴,垂足为E,
∴∠COE=60°-30°= 30°.在Rt△COE中,sin30°= ,
∴CE=4×sin30°==2.∴OE=. ∴C(,2)
(2)∵C点在第一象限, C(,2),点B在Ox轴上,
∴欲使△COB∽△COA,由OC=OC, ∠AOC=∠BOC=30°,
当OA=OB=时,△COB∽△COA,此时B(,0).
又欲使△COB∽△AOC, 由∠AOC=∠BOC=30°,
当∠OAC=∠OCB′时,也可满足条件△COB∽△AOC.于是,
∴, ∴OB′=,∴B′.
故B(,0 )或B′.
在Rt△AOD中,∵OA=,AD=3,∴OD=,∴A(,3),
设所求经过A,B,C三点的抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
第一种情况:
当抛物线经过点A(,3)、B(,0 )、 C(,2 ) 时,由题意知,
由于方程组中的②与③互相矛盾,
故不存在这样的二次函数,其图象经过A,B,C三点.
第二种情况:
当抛物线经A(,3)、B′、 C(,0 ) 时,
把三点坐标代入y=ax2+bx+c,得
， 解得
∴.
三、
3.解:(1)∵正方形ABCD的边长为4,CE=1,CF=,
∴CF∥AG,BE=3, ∴,BG= 4.
∵HM⊥AG,CB⊥AG,∴HM∥BE.∴, ∴ MG=.
∴y=.
(2)∵,
∴当x=3时,y最大,最大面积是12.