12.2.2运用“边角边”证三角形全等 课件（32张PPT）

(共32张PPT)
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
第2课时 运用“边角边”证三角形全等
学习目标
1.掌握三角形“SAS”判定方法.
2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
3.经历探索三角形全等条件的过程.
重点：应用“边角边”证明三角形全等.
难点：寻求三角形全等的条件.
课前预习
阅读课本P37-38页内容，了解本节主要内容.
全等
新课导入
先任意画出一个△ABC.再画出一个△A′B′C′，
使A′B′=AB, A′C′=AC， ∠A′＝∠A (即两边和它
们的夹角分别相等),把画好的△A′B′C′剪下来，
放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
A′
D
E
现象：两个三角形放在一起
能完全重合．
说明：这两个三角形全等．
画法：
(1)画∠DA′E =∠A；
(2)在射线A′D上截取A′B′=AB，在射线A′E上截取A′C′=AC；
(3)连接B′C′．
B′
C′
1.回顾三角形全等的判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为
“边边边”或“SSS”）.
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
AB=DE
BC=EF
CA=FD
2.符号语言表达：
A
B
C
D
E
F
知识回顾
当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:
三角 ×
三边 √
两边一角 ？
两角一边
除了SSS外,还有其他情况吗？
三角形全等的判定（“边角边”定理）
一
问题：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
它们能判定两个三角形全等吗？
新知讲解
尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等
A
B
C
A′
D
E
B′
C′
作法：
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；
（3）连接B'C '.
思考：
① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？
②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
归纳总结
例1 ：如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么
△ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
证明：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD= ∠CBD(已知)，
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD(公共边)，
典例分析
变式1:
已知：如图,AB=CB,∠1= ∠2.
求证:(1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD与△CBD中，
证明:
∴△ABD≌△CBD（SAS），
AB=CB (已知），
∠1=∠2 （已知），
BD=BD （公共边），
∴AD=CD，∠3=∠4，
∴DB 平分∠ ADC.
A
B
C
D
变式2:
已知:AD=CD，DB平分∠ADC ，求证:∠A=∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中，
证明:
∴△ABD≌△CBD（SAS），
AD=CD (已知），
∠1=∠2 （已证），
BD=BD （公共边），
∴∠A=∠C.
∵DB 平分∠ ADC，
∴∠1=∠2.
例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么
C
·
A
E
D
B
典例分析
证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴△ABC ≌△DEC（SAS），∴AB =DE ，
（全等三角形的对应边相等）.
AC = DC（已知），
∠ACB =∠DCE （对顶角相等），
CB=EC（已知） ，
证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
归纳
已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D.
证明:∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC(等式的性质)，
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB(已知)，
∠ABC＝∠DBE(已证)，
CB＝EB(已知)，
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴ ∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
1
A
2
C
B
D
E
　想一想：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等
画一画：
画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE
=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？

A
B
M
C
D
A
B
C
A
B
D
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
结论
例3 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
C
典例分析
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ

30
8 cm
9 cm
Ⅵ

30
8 cm
8 cm
Ⅳ
Ⅳ
8 cm
5 cm
Ⅱ
30

8 cm
5 cm
Ⅴ
30
8 cm

5 cm
Ⅷ
8 cm
5 cm

30
8 cm
9 cm
Ⅶ
Ⅲ

30
8 cm
8 cm
Ⅲ
随堂练习
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC
D
3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
F
A
B
D
C
E
证明：
∵AD//BC，
∴ ∠A=∠C，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即 AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
4.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
求证：BD=CD.
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
(已知），
(已证），
(已证），
∴ BD=CD.
已知：如图，AB=AC, BD=CD，
求证： ∠ BAD= ∠ CAD.
变式1
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点，
求证： BE=CE.
变式2
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
5.如图，已知CA=CB,AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB (已知）
AD=BD （已知）
CD=CD （公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
能力提升
连接CD，如图所示；
∴∠A=∠B
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN (已证）
∠A=∠B （已证）
AD=BD （已知）
∴△AMD≌△BND（SAS）
∴DM=DN.
边角边
内容
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
课堂小结
本课结束
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