第一章 1.1 集合的概念
第1课时集合的含义
自测目标：
1通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题
2体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号
掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)
3能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列各组对象能组成一个集合的是( )
①某中学高一年级所有聪明的学生；②周长为10 cm的三角形；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值．
A．①② B．③④
C．②③ D．①③
2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
6．如果集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“∈”或“ ”)．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系为(2，7)____P(填“∈”或“ ”)．
9．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是____.
三、解答题
10．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
11．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2 022＋b2 022的值．
B 组·拔高提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( )
A．3∈A，－1 A B．3∈A，－1∈A
C．3 A，－1∈A D．3 A，－1 A
二、填空题
5．用符号“∈”或“ ”填空：
0____N；－3____N；0.5___Z；____Z；____Q；π____R.
6．若∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为____.
7．(2023·江苏泰州期末)集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为____，y的值为____.
三、解答题
8．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
9．设集合S中的元素x＝m＋n，m，n∈Z.
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个元素x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S 第一章 1.1 集合的概念
第1课时集合的含义
自测目标：
1通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题
2体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号
掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)
3能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列各组对象能组成一个集合的是( C )
①某中学高一年级所有聪明的学生；②周长为10 cm的三角形；③所有不小于3的正整数；④的所有近似值．
A．①② B．③④
C．②③ D．①③
[解析] ①④不符合集合中元素的确定性．故选C．
2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( C )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
[解析] 由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，其含有元素的个数最多为( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] ∵＝|x|，－＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x>0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x<0，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
5．设x∈N，且∈N，则x的值可能是( B )
A．0 B．1
C．－1 D．0或1
[解析] ∵－1 N，∴排除C；0∈N，而无意义，排除A、D，故选B．
6．如果集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( B )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
[解析] ∵a∈A，∴当a＝2时，6－a＝4，∴6－a∈A；当a＝4时，6－a＝2，∴6－a∈A；当a＝6时，6－a＝0，∴6－a A，故a＝2或4.
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳__ __A，广州__∈__A(填“∈”或“ ”)．
[解析] 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
8．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2，7)与点集P的关系为(2，7)__∈__P(填“∈”或“ ”)．
[解析] 直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，∴(2，7)∈P.
9．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是__k≠±1__.
[解析] 由集合元素的互异性可知，k2≠1，所以k≠±1.
三、解答题
10．记方程x2－x－m＝0的解构成的集合为M，若2∈M，试写出集合M中的所有元素．
[解析] 因为2∈M，所以22－2－m＝0，解得m＝2.解方程x2－x－2＝0，即(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2.故M含有两个元素－1，2.
11．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，求a2 022＋b2 022的值．
[解析] 由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a,0，1和a2，a,0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 022＋b2 022＝(－1)2 022＋0＝1.
B 组·拔高提升
一、选择题
1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是( D )
A．矩形 B．平行四边形
C．菱形 D．梯形
[解析] 由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．
2．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为( B )
A．2 B．3
C．0或3 D．0或2或3
[解析] 因为2∈A，所以m＝2，或m2－3m＋2＝2，解得m＝0或m＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得m＝3，故选B．
3．(多选题)已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( BC )
A．－2∈A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34 A
[解析] 令3k－1＝－2，解得k＝－，－ Z，
∴－2 A；令3k－1＝－11，
解得k＝－，－ Z，∴－11 A；
∵k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，
∴－34∈A.故选BC．
4．(多选题)已知x，y都是非零实数，z＝＋＋可能的取值组成的集合为A，则下列判断错误的是( ACD )
A．3∈A，－1 A B．3∈A，－1∈A
C．3 A，－1∈A D．3 A，－1 A
[解析] 当x>0，y>0时，z＝1＋1＋1＝3；
当x>0，y<0时，z＝1－1－1＝－1；
当x<0，y>0时，z＝－1＋1－1＝－1；
当x<0，y<0时，z＝－1－1＋1＝－1.
所以3∈A，－1∈A.故选ACD．
二、填空题
5．用符号“∈”或“ ”填空：
0__∈__N；－3__ __N；0.5__ __Z；__ __Z；__∈__Q；π__∈__R.
6．若∈A，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为__－1±__.
[解析] 由题意，得＝a，
∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1±.
7．(2023·江苏泰州期末)集合A中含有两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和x2，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__.
[解析] 因为集合A，B相等，所以x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，经检验，x＝1符合题意，
综上可知，x＝1，y＝0.
三、解答题
8．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1.
(1)若－2是集合A中的元素，试求实数a的值；
(2)－5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．
[解析] (1)因为－2是集合A中的元素，
所以－2＝a－3或－2＝2a－1.
若－2＝a－3，则a＝1，
此时集合A含有两个元素－2，1，符合要求；
若－2＝2a－1，则a＝－，
此时集合A中含有两个元素－，－2，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为1或－.
(2)不能．理由：若－5为集合A中的元素，则a－3＝－5或2a－1＝－5.
当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；
当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．
综上，－5不能为集合A中的元素．
9．设集合S中的元素x＝m＋n，m，n∈Z.
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个元素x1，x2，则x1＋x2，x1·x2是否属于S
[解析] (1)a是集合S中的元素，因为a＝a＋0×∈S.
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m，n，
p，q∈Z.
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋p)＋(n＋q)，因为m，n，p，q∈Z.
所以n＋q∈Z，m＋p∈Z.
所以x1＋x2∈S，
x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m，n，p，q∈Z.
故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z.
所以x1·x2∈S.
综上，x1＋x2，x1·x2都属于S.
