7.3.1 复数的三角表示式 课件(共15张PPT)

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7.3 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
第七章 复数
问题1：前面我们已经学习了复数的概念、复数的几何意义，请同学们回忆下它们分别是什么？
一、温故知新 奠定基础
复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a,b)
一一对应
复数z＝a＋bi 平面向量
一一对应
计算：1.
2.
7.3.1 复数的三角表示式
二、引导探究 得出概念
问题2：我们知道复数z＝a＋bi可以由向量 的坐标 唯一确定，向量 既可以由它的坐标 唯一确定，还可以由哪些量确定？
追问1：为了解决问题2，首先应研究什么？
追问2：如何用文字表述角θ呢？
追问3：你能用向量 的模，以及以x轴的非负半轴为始边，以向量 所在射线为终边的角θ来表示复数z吗？
a
b
Z:a＋bi
图1
θ
r
观察分析图1，能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？
二、引导探究 得出概念
复数的三角形式
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成
r(cosθ+isinθ)
模
辐角
三角形式
r是复数的模；
θ是以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.
r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式.
a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
二、引导探究 得出概念
问题3：一个复数的辐角的值有多少个？
a
b
Z:a＋bi
图1
θ
r
追问1：这些辐角的值之间有什么关系呢？
无限多个
相差2π的整数倍
追问2：若复数为0，它的辐角是哪个角？
复数0对应零向量，零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的，而不是0.
二、引导探究 得出概念
问题4：在研究问题时，复数辐角的多值性有时会给我们带来不便，为了使任意一个非0复数有唯一确定的“值”作为其所有辐值的代表，你认为规定这种“值”在哪个范围内比较合适？
追问：一个非零复数辐角的主值有多少个？
有且只有一个
0≤θ<2π
辐角与辐角主值
我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，
即0 ≤ arg z < 2π．
例如，arg 1= ，arg i= ，arg(－1)= ，arg (－i)= ．
的三角形式是：
的三角形式是：
三、概念辨析 加深理解
问题5： 是三角表示式吗？说出你的理由.
例题1：判断下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.
复数的三角形式r(cosθ+isinθ)
例题2：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.
例题3：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量的，并把这些复数表示成代数形式.
四、概念应用 巩固新知
问题6：两个用代数形式表示的非零复数相等的条件是什么？两个用三角形式表示的非零复数在什么条件下相等呢？
四、概念应用 巩固新知
两个复数相等
两个复数对应的向量相等
两个向量的长度相等且方向相同
两个复数的模相等且辐角主值相等
z1=z2
r1=r2且argz1=argz2
五、课堂小结
问题7 请根据以下问题回顾本节课的学习过程，并给出回答：
（1）复数三角表示式的基本结构特点是什么？需要注意什么？
（2）复数的代数形式与复数的三角形式如何互化？
（3）我们是如何研究复数的三角形式的？其中蕴含了哪些数学思想和方法？
（4）为什么要研究复数的三角形式？根据研究一个运算对象的基本路径， 你认为接下来该研究什么？如何研究？
六、目标检测
1、画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式.
2、下列复数是不是三角形式？如果不是，把它表示成三角形式.
3、将下列复数表示成代数形式：
作业：
+1=0，是数学里最令人着迷的一个关系，被称为“上帝创造的公式”.这个恒等式将数学里最重要的几个重要数字联系到了一起：两个超越数，自然对数的底e，圆周率π；两个单位，虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0．
事实上，+1=0是欧拉公式=cosθ+isinθ中 θ=π 时的特例.欧拉公式有着极其重要的意义，在18世纪由著名数学家欧拉提出，它是连结复数与三角的纽带，是复变函数理论最重要的公式之一．请同学们查阅相关资料，并说明以下问题：
（1）欧拉公式与三角函数、指数函数、复数有怎样的联系？
（2）欧拉公式是怎么得到的？它是哪些知识的基础，它有什么作用？