四川省资阳市2022-2023学年高二下学期期末考试数学理科试题（Word版含答案）

资阳市2022—2023学年度高中二年级第二学期期末质量监测
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．并将条形码贴在答题卡上对应的虚线框内．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．，
4．展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项
5．某地气象部门预报，在国庆期间甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率为0.3．假定这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这段时间内至少有一个地方降雨的概率为（ ）
A．0.4 B．0.44 C．0.56 D．0.6
6．已知某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁．若开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．已知函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的离心率为，则的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（ ）
A．120种 B．108种 C．96种 D．72种
12．过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．展开式中的常数项为______．
14．若随机变量服从正态分布，且，则的值为______．
15．过拋物线的焦点作斜率为的直线l，l与离心率为的双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，，分别表示B，C，F的横坐标，且，则______．
16．杨辉是我国南宋时期数学家，在其所著的《详解九章算法》一书中，辑录了图①所示的三角形数表，这比欧洲早500多年．杨辉三角本身包含很多性质，并有广泛的应用．
借助图②所示的杨辉三角，可以得到，从第0行到第行：
第1斜列之和；
第2斜列之和．
类比以上结论，并解决如下问题：图③所示为一个层三角垛，底层是每边堆个圆球的三角形（底层堆积方式如图所示），向上逐层每边少1个，顶层是1个．则小球总数______．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若时，单调递增，求的取值范围．
18．（12分）某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，统计了近十年的研发投入（单位：亿元）与年份代码共10组数据，其中年份代码，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年．
现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到下图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中，．
75 2.25 82.5 4.5 121.4 28.82
（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（2）根据①中所选模型，求出关于的回归方程；根据该模型，求该公司2028年高科技研发投入的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
19．（12分）已知双曲线实轴长为2，左、右两顶点分别为，，上的一点分别与，连线的斜率之积为3．
（1）求的方程；
（2）经过点的直线分别与的左、右支交于M，N两点，为坐标原点，的面积为，求的方程．
20．（12分）中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息．某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：
不经常喝茶 经常喝茶 合计
男 50 200 250
女 50 100 150
合计 100 300 400
（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
（2）中国茶叶种类繁多，按照茶的色泽与加工方法，通常可分为红茶、绿茶、青茶、黄茶、黑茶、白茶六大茶类，每个茶类包括较多品种．现分别在绿茶与青茶中各选取了2个品种茶，甲在仅知道其所属茶类的情况下，品茶并识别茶叶具体品种．已知甲准确说出绿茶各品种的概率为，准确说出青茶各品种的概率为，品鉴每个品种的互不影响．记“甲准确说出茶叶品种数”为随机变量，求的分布列和数学期望．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中，．
21．（12分）过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）若有两个极值点，求的取值范围；
（2）若，，求的取值范围．
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理科数学参考答案和评分意见
注意事项：
1．本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1—5：CAADB；6—10：CBAAC；11—12：BD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．135； 14．0.72； 15．； 16．或．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）由，得，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为．
（2）因为时，单调递增，
所以时，恒成立，即在时恒成立，
设，则，则时，，时，，
可知时，取极小值，该极小值也即为上的最小值，
所以，即，
所以，单调递增时，的取值范围是．
18．（12分）（1）应该选择模型②．
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适．
（2）根据模型②，令，研发投入与可用线性回归来拟合，有．
则，
所以，则关于的线性回归方程为．
所以，关于的回归方程为．
2028年，即时，（亿元）．
所以，该公司2028年高科技研发投入的预报值为86.19（亿元）．
注：关于第（2）小题的解答，①若选用模型①求回归方程，本小问最多给4分；
②求时，也可利用代入并计算，得．
19．（12分）（1）由题，不妨设点，，的方程为．
因为在上，则，即有，
则分别与，连线的斜率之积为，
所以的方程为．
（2）由题知，直线的斜率存在，设为，则的方程为，
联立方程组消去，得，
令，，则，
因为直线分别交的左、右支于M，N两点，
则，，
则，的面积，
则，
解得或（舍去），则，所以的方程为．
20．（12分）（1）由题，得，
因此，有的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系．
（2）由题可知，的可能值为0，1，2，3，4．
，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3 4
（或填） （或填） （或填）
则的数学期望．
21．（12分）（1）由题，，
设切点，则切线方程为，
的坐标代入，得，解得，，
由的面积，解得，
所以的方程为．
（2）由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立方程组消去并整理得，，
则，
设，，则，，
所以，，
因为为CD中点，所以，
同理，，
所以，直线MN的方程为，
整理得，所以，直线MN恒过定点．
22．（12分）（1）由，得，
因为有两个极值点，则，即方程有两个不等实数根，
令，则，
知时，，单调递减；时，，单调递增，
则时，取得极小值，也即为最小值，
且时，，时，；时，，时，，
故，即时，
方程有两个实数根，不妨设为，．
可知时，，时，，时，，
即，分别为的极大值和极小值点．
所以有两个极值点时，的取值范围是．
（2）令，原不等式即为，
可得，，，
令，则，
又设，则，则，，可知单调递增，
若，有，，则；
若，有，则，
所以，，，则即单调递增，
i）当即时，，则单调递增，
所以，恒成立，则符合题意．
ii）当即时，
，，
存在，使得，
当时，，则单调递减，所以，与题意不符，
综上所述，a的取值范围是．