2022-2023学年湖南省学业水平合格性考试数学测试卷（含答案）

2022-2023学年湖南省学业水平合格性考试数学
测试卷
选择题:本大题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
复数 的虚部为
A． B． C． D．
全集 ，集合 ，，则集合
A． B．
C． D．
下列四组函数，表示同一函数的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
计算 的结果等于
A． B． C． D．
函数 的零点一定位于区间
A． B． C． D．
设 ，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
函数 的图象是
A．B．
C． D．
已知向量 ，，若 ，则
A． B． C． D．
已知某圆柱底面的半径为 ，高为 ，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
某高校调查了 名学生每周的自习时间（单位：小时），绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据分组为 ，，，，．则根据直方图这 名学生中每周的自习时间不足 小时的人数是
A． B． C． D．
若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于
A． B． C． D．
将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
如图，在直三棱柱 中， 为 的中点，，，则异面直线 与 所成的角为
A． B． C． D．
已知不等式 对任意正实数 ， 恒成立，则正实数 的最小值为
A． B． C． D．
函数 在 上是减函数，则 的范围是
A． B． C． D．
已知函数 满足 ，当 时，，那么
A． B． C． D．
如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题：；；；．其中正确命题的序号是
A． B． C． D．
已知函数 ，且 在 有且仅有 个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
化简： ．
已知 ，则
长方体的 条棱的总长度为 ，表面积为 ，那么长方体的对角线长为 ．
已知 ， 是两个不共线的向量，，，，若 ，， 三点共线，则实数 ．
三、解答题:本大题共3小题,每小题10分,满分30分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
已知函数 ．
(1) 求 ；
(2) 求曲线 的相邻两条对称轴的距离；
(3) 若函数 在 上单调递增，求 的最大值．
如图，在正三棱柱 中，，．
(1) 求正三棱柱 的体积；
(2) 若点 是侧棱 的中点，求异面直线 与 所成角的余弦值．
已知函数 ，．
(1) 当 时，求不等式 的解集；
(2) 若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3) 若对任意 ，存在 ，使得 ，求 的取值范围．
答案1-18 ADDAC ABBDCB BACBD AAD
19. 20. 21. 22.
23.
(1)
(2)
所以函数 的最小正周期 ，
所以曲线 的相邻两条对称轴的距离为 ，即 ．
(3) 由（）可知 ，
当 时，，
因为 在 上单调递增，且 在 上单调递增，
所以 ，
即
解得 ，
故 的最大值为 ．
24.
(1) 棱柱体积 ，其中 为底面积， 是高．
正三棱柱 中，，，
所以 ，，正三棱柱 的体积等于 ．
(2) 连接 ，在 中， 为异面直线 与 所成角的大小．
在 中，，，所以 ．
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
25.
(1) 当 时，由 得 ，
即 ，解得 或 ．
所以不等式 的解集为 ．
(2) 由 得 ，
即不等式 的解集是 ．
所以 ，解得 ．
所以 的取值范围是 ．
(3) 当 时，．
又 ．
①当 ，即 时，
对任意 ，．
所以 此时不等式组无解．
②当 ，即 时，
对任意 ，．
所以 解得 ．
③当 ，即 时，
对任意 ，．
所以 此时不等式组无解．
④当 ，即 时，
对任意 ，．
所以 此时不等式组无解．
综上，实数 的取值范围是 ．