人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程综合提升（含答案版）

一元二次方程综合强化（学生版）
典例精析
例1 已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
拓展与变式1若代数式的值等于0,则x＝ .
拓展与变式2
(1)已知关于x的方程(m－2)x2－＋＝0有两个实数根,则m的取值范围( )
m＞ B.m≤且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
(2)已知关于x的方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1,x2满足x12＋x22＝4,则k的值 .
拓展与变式3
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根.
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28,求m的值;
（2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
例2如图5－1,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,AC＝8cm,BD＝6cm, 动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动到点C,动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度匀速运动到点D,若M,N同时出发,问:出发后几秒钟时,△MON的面积为cm2.
拓展与变式4 现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年3月与5月完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率.
(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月的快递投递任务 如果不能,至少需要增加几名业务员
拓展与变式5 若实数a,b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0,求a＋b的值.
专题突破
1.(1)如果正数a是关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根,－a是关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根,则a的值是 .
(2)若m,n是两个不相等的实数,且m2－m＝3,n2－n＝3,那么代数式2n2－mn＋2m2＋2018＝ .
2.如果x2－x－1＝(x＋1)2,那么x的值为( )
A.2或－1 B.0或1 C.2 D.－1
3.有两个关于x的一元二次方程,M:ax2＋bx＋c＝0,N:cx2＋bx＋a＝0,其中a·c≠0,a≠c，下列四个结论中,错误的是( )
A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根；
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同；
C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根；
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x＝1.
4.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k,使得x1x2－x12－x22≥0成立 若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.
5.2019年，某市一楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米5265元，
(1)求平均每年下调的百分率;
(2)假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买该楼盘一套100m2的住房，他持有现金20万元，可在银行贷款30万元，问：张强的愿望能否实现 (房价每平方米按照均价计算)
6.如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AB＝2.（1）求正方形EFGH的面积最小值；（2）当正方形EFGH面积为3时，求AE的长.
7.如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，EF＝5，求BF的长.
8.如图，等边△ABC中，D，E为BC边上的点，BD＝2CE，∠DAE＝30°，DE＝3，求CE的长.
9.如图，在等边△ABC中，P是BC下方一动点，且∠BPC＝120°，PB，PC是关于x的一元二次方程
（a2－2）x2－4(a2－2)x－3＝0的两根，求PA的长度.
10.如图，在平面直角坐标系中，Rt△A0B的两直角边0A，OB分别在x轴，y轴的正半轴上（0A＜OB），且0A，0B的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根.线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C，P，Q，M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
第七讲 一元二次方程综合强化（解析版）
典例精析
例1 已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根
【分析】(1)将原方程展开成一般式,求判别式△；(2)利用根与系数的关系求解.
【解】(1)将原方程展开可得x2－5x＋6－＝0,a＝1,b＝－5,c＝6－
Δ＝b2－4ac＝1＋4|m|＞0,∴方程总有两个不相等的实数根
将x＝1代入原方程,得到|m|＝2,∴m＝±2.
综上所述,m＝2或m＝－2,另一个根为x＝4
【点评】根据题中所给信息,灵活运用判别式及根与系数的关系来处理问题.
拓展与变式1若代数式的值等于0,则x＝ 2 .
拓展与变式2(1)已知关于x的方程(m－2)x2－＋＝0有两个实数根,则m的取值范围( )
答案：B提示:由△≥0，可求得m≤，同时m－2≠0，故选B.
A.m＞ B.m≤且m≠2 C.m≥3 D.m≤3且m≠2
(2)已知关于x的方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1,x2满足x12＋x22＝4,则k的值 1 .
拓展与变式3已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根.
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28,求m的值;
（2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
解:(1)由根与系数的关系得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5；
∵(x1－1)(x2－1)＝28，
∴x1x2 -(x1＋x2)＋1＝28，
(m2＋5)－2(m＋1)＋1＝28.
∴m2-2m-24=0
∴m1＝－4，m2＝6.
由△≥0得m≥2，∴m＝6.
(2)当底边为7时，则两根相等，
∴[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝0.
∴m＝2，代人原方程解得x1＝x2＝3，不能构成三角形.
当腰为7时，代人原方程可得m1＝4，m2＝10.
当m＝4时，原方程变为x2－10x＋21＝0.
解得x1＝3，x2＝7，周长为17；
当m＝10时，原方程变为x2－22x＋105＝0，
解得x1＝7，x2＝15，不能构成三角形
综上所述，三角形的周长为17.
【反思】解题时,若方程有根,不能忽略△≥0这个条件
例2如图5－1,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,AC＝8cm,BD＝6cm, 动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动到点C,动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度匀速运动到点D,若M,N同时出发,问:出发后几秒钟时,△MON的面积为cm2.
【分析】根据运动中M,N,O三点的位置关系,可分为点M在线段AO上,点N在线段BO上；点M在线段OC上,点N在线段BO上；点M在线段OC上,点N在线段OD上三种情况分别讨论
【解】设出发后ts时,S△MON＝cm2.
(1)当t＜2时,点M在线段AO上,点N在线段BO上,(4－2t)(3－t)＝
解得t1＝, t2＝,∵t＜2，∴t＝.
(2)当2＜t＜3时,点M在线段OC上,点N在线段BO上,(2t－4)(3－t)＝ ,
解得t1＝t2＝.
(3)当t＞3时,点M在线段OC上,点N在线段OD上,, (2t－4)(t－3)＝ .
解得：t1＝, t2＝（舍去）.
综上所述,出发后s, s,s时,△MON的面积为cm2
【点评】本题考查分类讨论的思想及一元二次方程的应用,通过点的不同位置来进行分类讨论.
拓展与变式4 现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年3月与5月完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率.
(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月的快递投递任务 如果不能,至少需要增加几名业务员
.解:(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x.
依题意，得10(1＋x)2＝12.1
解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去).
答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%
(2)今年6月的快递投递任务是12.1×(1＋10%)=13.31(万件)，因为平均每人每月最多可投递快递0.6万件，则21名快递投递业务员能完成的快递投递任务
是0.6×21＝12.6＜13.31，则该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月的快递投递任务。因(13.31－12.6)÷0.6≈1.18，故需要增加2名业务员.
答:该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月的快递投递任务，至少需要增加2名业务员.
拓展与变式5 若实数a,b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0,求a＋b的值.
解:令t＝a＋b，则原方程可化为4t(4t－2)－8＝0，解得t1= ，t2＝1，即a十b＝1或.
【反思】一元二次方程可应用于各种题型中,要考虑到各种题型背景下所要注意的各个方面.
专题突破
1.(1)如果正数a是关于x的一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根,－a是关于x的一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根,则a的值是 5 .
(2)若m,n是两个不相等的实数,且m2－m＝3,n2－n＝3,那么代数式2n2－mn＋2m2＋2018＝ 2035 .
2.如果x2－x－1＝(x＋1)2,那么x的值为( C )
A.2或－1 B.0或1 C.2 D.－1
3.有两个关于x的一元二次方程,M:ax2＋bx＋c＝0,N:cx2＋bx＋a＝0,其中a·c≠0,a≠c，下列四个结论中,错误的是(D )
A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根；
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同；
C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根；
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x＝1.
4.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k,使得x1x2－x12－x22≥0成立 若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.
.解:(1)∵原方程有两个实数根
∴[－(2k＋1)]－4(k2＋2k)≥0.
1－4≥0，解得k≤
(2)假设存在实数k，使得x1x:－x1－x:2≥0成立，
则3x1x:－(x1＋x1)2≥0，
3(k2＋2)－(2k＋1)2≥0，整理得一(k－1)2≥0
∴只有当k＝1时，上式才能成立，又由(1)知k≤
∴不存在实数k，使得x1x:－x1－x:2≥0成立，
5.2019年，某市一楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2021年的均价为每平方米5265元，
(1)求平均每年下调的百分率;
(2)假设2022年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买该楼盘一套100m2的住房，他持有现金20万元，可在银行贷款30万元，问：张强的愿望能否实现 (房价每平方米按照均价计算)
解:(1)设平均每年下调的百分率为x
依题意，得6500(1－x)2＝5265，
解得x1＝0.1，x:＝1.9(不合题意，舍去)
下调的百分率为10%
(2)如果下调的百分率相同，2018年的房价为
5265×(1－10%)＝4738.5(元/平方米)
则100m2的住房的总房款为
100×4738.5＝473850(元)＝47.385(万元)
∵20＋30＞47.385，∴可以实现.
6.如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AB＝2.（1）求正方形EFGH的面积最小值；（2）当正方形EFGH面积为3时，求AE的长.
答案：设AE＝x，则BE＝2－x，易证BF＝AE＝x.
（1）S正EECH＝EF2＝x2＋（2－x）2＝2（x－1）2＋2，当x＝1时，S正EECH最小 ＝2；
（2）2（x－1）2＋2＝3，∴x1＝1＋.x2＝1－.∴AE＝1＋或1－
7.如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，EF＝5，求BF的长.
答案：延长BC到G，使CG＝AE，连接DG.易得△ADE≌△CDG，∠ADE＝∠CDG，
∴∠EDF＝∠GDF＝45°.易证△DEF≌△DGF.∴EF＝FG＝5.设BF＝x，
则CF＝6－x，CG＝x－1，AE＝CG＝x－1，BE＝7－x.在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF ，
∴（7－x）2＋x2＝52.∴x1＝3，x2＝4.∴BF＝3或4.
8.如图，等边△ABC中，D，E为BC边上的点，BD＝2CE，∠DAE＝30°，DE＝3，求CE的长.
答案：将△ABD绕A点逆时针旋转到△ACF，连接EF，过F作FH⊥EC的延长线于H.
设CE＝x，则BD＝2x，FC＝2x，∠ECF＝120°，∠FCH＝60°，CH＝x，FH＝x.
易证△ADE≌△AFE，∴DE＝EF＝3.在Rt△EFH中，EH2＋FH2＝EF2.（2x）2＋（x）2＝32，
∴7x2＝9.∴x＝，∴CE＝
9.如图，在等边△ABC中，P是BC下方一动点，且∠BPC＝120°，PB，PC是关于x的一元二次方程
（a2－2）x2－4(a2－2)x－3＝0的两根，求PA的长度.
答案：由题意：PB＋PC＝4，延长PC到Q，使CQ＝BP，连接AQ.∵∠BPC＝120°，∠BAC＝60°，
易得∠ABP＝∠ACQ，△ABP≌△ACQ，∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，∴∠BAC＝∠PAQ＝60°
∴△APQ是等边三角形，∴PA＝PQ＝PB＋PC＝4.
10.如图，在平面直角坐标系中，Rt△A0B的两直角边0A，OB分别在x轴，y轴的正半轴上（0A＜OB），且0A，0B的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根.线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点.
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C，P，Q，M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：（1）A（6，0），B（0，8）；（2）y＝x＋；
（3）由题意，正方形的边长为AB＝×10＝5.①当Q与B重合时，过M作MH⊥y轴于H，过C作CG⊥y轴于G，易得△QMH≌△CQG，∴QH＝CG＝3，MH＝QG＝4，∴M（4，11）或M（－4，5）；②当Q与A重合时，同理可得M（2，－3）或（10，3）.综上点M的坐标是（4，11）或（－4，5）或（2，－3）或（10，3）.