2023年暑假预习　人教版数学九年级上册 21.2 解一元二次方程（含解析）

专题21.2 解一元二次方程
（2023年暑假预习）
（人教版）
【思维导图】
【预习知识】
考点 1 解一元二次方程-直接开方 ：
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
方法是根据平方根的意义开平方
考点2 解一元二次方程-配方法：
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．
总结：
考点3 解一元二次方程-公式法：
用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，
（2）求出判别式
考点 4 解一元二次方程-因式分解 ：
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；
（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
考点5 换元法解一元二次方程：
（1）换元法就是把某一个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。
（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。
考点6 一元二次方程的判别式：
根的判别式：
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
③时，方程无实数根，反之亦成立
考点7一元二次方程的根与系数：
根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理
【典例】
一、单选题
1．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．解关于x的一元二次方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，为任意实数，则的值( )
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
4．若是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．2 B． C．0 D．2或
5．一元二次方程的根是（　　）
A． B． C．， D．，
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．没有实数根
7．关于的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
8．关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值可能是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
9．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．用公式法解方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．用公式法解方程时，Δ＝（　　）
A． B． C． D．
12．分式的值为0，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
13．方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
14．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（ ）
A． B．
C． D．．
15．实数满足方程，则的值等于（ ）
A． B． C．或 D．或
16．若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
17．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
18．如果m，n是方程的两个实数根，那么________．
19．已知方程的根为，则的值为____________．
20．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
21．已知a、b是方程的两根，则___________．
三、解答题
22．用合适的方法解下列方程：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
23．解方程：
(1)．
(2)．
24．解方程：
(1)
(2)．
25．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
26．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值．
27．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)．
28．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围．
(2)当k取最大整数值时，求该方程的解．
29．（1）因式分解：；
（2）解方程：
参考答案：
1．D
【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
2．A
【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
3．A
【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴的值大于0，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
4．D
【分析】根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，即，
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0，还考查解一元二次方程．
5．B
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：，
解得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当的方法是解决此题的关键．
6．D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可得出该方程没有实数根．
【详解】解：，，，
，
一元二次方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
7．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8．B
【分析】根据关于的方程有两个不相等的实数根，可知该方程是一元二次方程，即，，求出的取值范围选择符合的选项即可．
【详解】关于的方程有两个不相等的实数根，
该方程是一元二次方程，即，
，
，
，
，且，
只有B选项符合，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程实数根的情况与判别式的关系，掌握有两个不相等的实数根时，是解题的关键．
9．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
10．C
【分析】将方程化为一般式后，根据一元二次方程的一般形式确定a、b、c的值即可，注意：项的系数带着前面的符号．
【详解】解：方程整理得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
11．D
【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴Δ＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12．A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
13．C
【分析】先将方程化为，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：方程可化为，即，
∴或，
∴，，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法及其步骤是解答的关键．
14．A
【分析】设，原方程中用代替，这样原方程转化为：，然后把方程两边乘以y得到整式方程．
【详解】解：设，原方程转化为，
方程两边乘以y得，．
故选：A．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程：用一个字母代替分式方程中某一个的整体，使原分式方程转化为简单的分式方程或整式方程，从而达到解决原方程的目的．
15．B
【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设，则原式变形得，
因式分解法解一元二次方程得，，
∴，，
当时，，变形得，，根据判别式，无实根；
当时，，变形得，，根据判别式，方程有两个实根；
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．
16．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
17．A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
18．2
【分析】先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
19．6
【分析】解方程，将解得的代入即可解答．
【详解】解：，
对左边式子因式分解，可得
解得，，
将，代入，
可得原式，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
20．
【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
21．
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2）（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先移项，然后利用因式分解方解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
23．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）移项后，利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
则，，，
∴，
∴，
解得：，；
（2），
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
24．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法将方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
【详解】（1）解：，
直接开平方得：，
∴，；
（2）解：，
因式分解得：，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．
25．(1)节后每千克A粽子的进价为10元
(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；
（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求出最大利润即可．
【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得：
，
解得：，，
经检验，都是原方程的解，但不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，且最大值为：，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先计算出的值，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）先利用因式分解法求出方程的解，再分类讨论当或时为等腰三角形，然后求出的值．
【详解】（1）证明：由题意可得：
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵
∴，
∴，，则，，
当时，为等腰三角形，则，解得，
由于，此时三角形不存在，不符合题意；
当时，为等腰三角形，则，解得，
，此时三角形存在，符合题意；
∴当是等腰三角形时，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
27．(1)，
(2)，
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
∴
∴解得，；
（2）
∴或
∴解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
28．(1)
(2)，
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求出k的取值范围；
（2）根据题意确定的值，再利用配方法解方程，即可得到答案．
【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
k的取值范围是；
（2）解：由（1）可知，，
当k取最大整数值时，，
，
，
，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．
29．（1）；（2），；
【分析】（1）先提取公因数2，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
移项，得：，
配方，得：，
即，
，
∴，．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解一元二次方程，正确计算是解题的关键．