1.3 正方形的性质与判定（第二课时） 课件（26张PPT）

1.3 正方形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第二课时 正方形的判定
学习目标
1）探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。
2）能根据正方形的判定条件进行有关论证和计算。
重点
探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。
难点
能根据正方形的判定条件进行有关论证和计算。
【提问】什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分；
④既是中心对称图形也是轴对称图形.
【提问】结合之前所学，如何判断四边形是平行四边形、矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
根据正方形的定义,可得正方形的第一个判定的方法：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形。
【思考】还有其它的判定方法吗？
A
B
C
D
【思考】矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
正方形
【思考】菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
邻边相等
一个角是直角
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等。
2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角。
如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样才能剪出一个正方形？
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论。
平行四边形
矩形
正方形
菱形
一个角是直角
一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
对角线相等
对角线相互垂直
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形判定方法2：有一组邻边相等的矩形是正方形。
已知：四边形ABCD是矩形，且AB=BC，
证明：四边形ABCD是正方形。
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠A=∠A=∠A=90°，AB=CD，AD=BC
又∵AB=BC，∴AB=BC=CD=AD
∴ABCD 是正方形
正方形判定方法3：有一个角是直角的菱形是正方形。
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
证明：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB=AD
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是正方形。
正方形判定方法4：对角线互相垂直的矩形是正方形。
已知：四边形ABCD是矩形，AC⊥DB。
求证：四边形ABCD是正方形。
A
B
C
D
O
证明：
∵四边形ABCD是矩形,
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=90°
∵AC⊥DB,
∴四边形ABCD是菱形,而∠ADC=90°
∴四边形ABCD是正方形
已知：四边形ABCD是菱形，AC=BD，
证明：四边形ABCD是正方形。
证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC
又∵AC = BD ，
∴四边形ABCD是矩形,而AB=BC
∴四边形ABCD是正方形
正方形判定方法5：对角线相等的菱形是正方形。
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
菱形条件
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等且有一个角是直角
=
=
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
例2 如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC ∴四边形BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°
∴∠BEC = 90°
∴菱形BECF是正方形
1.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的条件是（ ）
A．AO＝CO B．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝CO＝BO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
2. 已知四边形????????????????中，∠????=∠????=∠????=90?，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A．∠D=90°； B．????????=????????； C．????????=????????； D．????????=????????．

?
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,
∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,
∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
5. 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
5. 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：①∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
②∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由于四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可。
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线垂直
一组邻边相等
对角线垂直
一个角是直角
对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等