2.4圆周角(第2课时) 课件（30张PPT）

第2章 · 对称图形——圆
2.4　圆周角
第2课时　圆周角与直径的关系
1.进一步认识同弧（或等弧）所对的圆周角和圆心角之间的关系；
2.掌握直径与其所对圆周角之间的关系.
学习目标
问题情景
如图，现在只有一个直角三角板，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
知识回顾
1.如图，在△ABC中，OA=OB=OC，则∠ACB= ______°.
90
C
A
B
O
C
A
B
┐
●O
2.直角三角形的外心在_______，并且这个点是____________.
斜边上
斜边的中点
3.圆周角的度数等于它所对______________________________.
弧上的圆心角度数(弧的度数)的一半
∠ABD=____°
知识回顾
4.如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=____°
C
O
D
A
B
60
90
∠DAB=____°
30
你有什么发现？
新知探索
问题1　如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，还是直角？为什么？
B
A
O
C
A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
∵半圆所对的圆心角∠BOC=180°，
∴∠BAC=90°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）
新知探索
问题2　如图，圆周角∠BAC＝90?，弦BC经过圆心O吗？为什么？
B
O
C
A
连结OB、OC
由圆周角∠A=90°，得∠BOC＝180°
即B、O、C在一条直线上.
新知归纳
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
用于判断某个
圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
90°的圆周角所对的弦是直径．
新知应用
如图，现在只有一个直角三角板，你能确定圆形笑脸的圆心吗？
利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，
这样就得到两条直径，那么这两条直径的
交点就是圆心.
.
.
.
.
.
新知巩固
1.如图，△ABC的边AB是☉O的直径，D是BC的中点，
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明.
B
A
C
D
O
·
解： △ABC是等腰三角形
证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.
∵D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC.
∴ △ABC是等腰三角形
E
新知巩固
B
A
C
D
O
·
1.如图，△ABC的边AB是☉O的直径，D是BC的中点，
(2)当△ABC为等边三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？
E
解：(2)当△ABC为等边三角形时，E是AC的中点．
理由如下：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.
∵△ABC为正三角形，
∴AE＝EC，
即E是AC的中点．
新知巩固
2.如图，点A、B、C都在☉O上，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝2，则☉O的直径的长是?　????????　?.
?
????????　
?
·
B
A
C
O
┐
例题讲解
例1　如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
O
A
B
C
D
E
60°
50°
？
解：连结BD
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°(直径所对的圆周角是直角).
∵∠ADC＝50°，
∴∠EDB=∠ADB-∠ADC=90°-50°=40°.
又∵∠ ABD=∠ACD=60° (同弧所对的圆周角相等)
∴ ∠CEB=∠ABD+∠EDB=60°+40°=100°
还有其他方法吗？
例2 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，
?(1)∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？
?
例题讲解
A
O
D
B
C
┐
？
？
解：(1)∠ACB与∠BAD相等，
理由是：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90 °(直径所对的圆周角是直角). ，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ACB=∠BAD
例2 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，
例题讲解
┐
A
O
D
B
C
E
F
G
=
=
BE分别交AD、 AC于点F、G，
(2)判断△FAB的形状，并说明理由．
????????＝????????．
?
解：(2)△FAB是等腰三角形，
理由是：∵ ????????＝?????????，
∴∠ACB=∠ABE (等弧所对的圆周角相等).
∵∠ACB=∠BAD，
∴∠BAD=∠ABE，
∴AF=BF，
∴△FAB是等腰三角形.
?
例2 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，
例题讲解
┐
A
O
D
B
C
E
F
G
BE分别交AD、 AC于点F、G，
(3)图中是否还存在其他的等腰三角形？
????????＝????????．
?
解：(3)△FAG是等腰三角形，
理由是： 由(2)得∠BAD=∠ABE
∵∠BAC=90 °(已证)，
∴∠BAD+∠FAG=90°，
∠ABE+∠AGF=90°，
∴ ∠FAG= ∠AGF.
∴△FAG是等腰三角形.
变式1 在例2中，若点E与点A在直径BC的两侧，BE交AD的延长线于点F，其余条件不变（如下图）
新知巩固
┐
A
O
D
B
C
E
F
(1)∠ACB与∠BAD还相等吗？ 为什么？
(2)判断△FAB的形状，并说明理由．
=
=
变式2 A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAE＝∠BAD，AE是⊙O的直径吗？为什么？
新知巩固
┐
A
O
D
B
C
E
×
×
×
。
新知归纳
1.遇到圆周角是90°，一般情况下联想到其所对的弦是直径，构造直角三角形；
2.利用直径所对的圆周角是直角可以解决角(两锐角之和为90°)、边(勾股定理)等问题．
课堂反思
1.“直径所对的角是直角”这种说法正确吗？
2.“90°的角所对的弦是直径”这种说法正确吗？
课堂小结
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径．
当堂检测
1. 用一块直角三角尺确定一个圆的圆心的位置，至少要用( )
B
A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次
2.如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B、C的一点，则∠A的度数为(　　)
A．60° B．70° C．80° D．90°
D
A
O
B
C
当堂检测
3. BD是⊙O的直径，∠A＝60°，则∠DBC的度数是(　　)　
A．30° B．45° C．60° D．25°
A
解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠D＝∠A＝60°，
∴∠DBC＝90°－∠D＝30°.
O
A
B
C
D
当堂检测
4.如图, 点A、B、C、D在☉O上, AC⊥BC, AC＝4, ∠ADC＝30°,则BC的长为( )
A. 4????
?
B. 8
C. 4????
?
D. 4
O
A
B
C
D
A
当堂检测
5.一块圆形玻璃镜面损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为?　????????????　?cm.?
?
????????????　
?
当堂检测
6.如图，点A、B、C在☉O上，BC∥OA，连接BO并延长，交☉O于点D，连接AC、DC.若∠A＝25°，则∠D的度数为?　40°?.?
O
A
B
C
D
40°
当堂检测
7. 如图，△ABC内接于一圆，∠CAB＝30°，∠B＝60°，O是AB的中点，CD⊥AB于点E，交圆于点D.
(1)求证：点O是圆心；
解：(1)∵ ∠CAB＝30°，∠B＝60°，
∴ ∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝90°.
又∵ A、B两点都在圆上，
∴ AB是圆的直径.
又∵ O是AB的中点，
∴ 点O是圆心.
A
O
D
C
B
E
┐
当堂检测
(2) 求∠DAE的度数.
解：（2） ∵ ????????＝????????，
∴ ∠D＝∠B＝60°.
∵ AB⊥CD，
∴ ∠DAE＝90°－∠D＝30°
?
A
O
D
C
B
E
┐
当堂检测
8.如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD.
(1)求证：DE＝DB；
解：(1)∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.
∵????????＝????????，
∴∠DBC＝∠CAD.
∴∠DBC＝∠BAE.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，
∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DE＝DB
?
O
B
A
C
D
E
当堂检测
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径.
O
B
A
C
D
E
解：(2)连接CD.
∵AD平分∠BAC，
∴易得????????＝????????.
∴CD＝BD＝4.
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径.
∴∠BDC＝90°.
∴在Rt△BDC中，BC＝????????????+????????????＝4????.
∴△ABC外接圆的半径＝????????BC＝????????×4????＝2????