2.4圆周角(第3课时) 课件（30张PPT）

第2章 · 对称图形——圆
2.4　圆周角
第3课时　圆的内接四边形
1.知道圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念；
2.理解圆内接四边形的性质；
3.会利用圆内接四边形的性质进行简单计算和证明.
学习目标
知识回顾
1. 过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
C
A
B
O
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
如图：⊙O是_______的外接圆， △ABC是⊙O的___________，点O是△ABC的_______.
△ABC
内接三角形
外心
B
C
A
知识回顾
2. 过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
经过任意四点不一定可以作一个圆.
D
D
如果四边形四个顶点都在圆上，类比三角形，你能说出圆和四边形的关系吗？
类比归纳
B
C
A
D
　　一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
O
　　 如图，四边形ABCD是⊙O的_________________，⊙O是四边形ABCD的__________．
内接四边形
外接圆
┐
新知探索
A
B
D
O
┐
C
1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？
解：∵ BD是直径，
∴∠A=90°，∠C=90°.
∴∠A+∠C=180°
∠ABC+∠ADC=180°
2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？
新知探索
A
B
D
O
C
E
解：作直径DE，连接AE，CE.
∵∠ABC=∠ABD+∠DBC
∠AEC=∠AED+∠DEC
∠AED=∠ABD , ∠DEC=∠DBC
∴∠ABC＝∠AEC
∵∠AEC＋∠ADC＝180°
∴∠ABC＋∠ADC＝180°
想想还有其他方法吗？
新知探索
A
B
D
O
C
解： ∵∠ABC=???????? ????????????的度数
?
∠ADC=???????? ????????????的度数
?
∴ ∠ADC+∠ABC
=????????(????????????的度数+????????????的度数)
=180°
?
请你归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？
新知归纳
A
B
D
O
C
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补.
符号语言表示：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180?， ∠B+∠D=180?.
新知应用
例1　如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在????????上，求∠E的度数．
?
B
D
A
O
E
C
解：连接BD
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠C+∠BAD=180?(圆内接四边形的对角互补).
∴∠BAD=180? ?110? =70? ，
在△ABD中，
∵AB=AD，∠BAD=70?
∴∠ABD=∠ADB=????????(180? ?70?)=55 ?
又∵四边形ABDE为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD=180 ? (圆内接四边形的对角互补).
∴∠E= 180? ?∠ABD =180? ?55? =125?
?
110°
新知巩固
C
A
B
O
E
D
1. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=30°，∠AED=110°，则∠ABC的度数是______.
30°
110°
解：连接BD.
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠AED+∠ABD=180°.
∵∠AED=110° ，
∴∠ABD=70°.
∵∠CAD=30° ，
∴∠CBD =∠CAD= 30°，
∴ ∠ABC =∠ ABD+∠CBD =100°.
100°
还有其他解法吗？
新知巩固
B
D
A
O
E
C
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠EAD是它的一个外角，若∠DCB=80°，求∠DAE的度数.
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°.
又∵∠DAB+∠DAE=180°，
∴∠DCB=∠DAE.
∵ ∠DCB=80°，
∴ ∠DAE=80°
延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
新知巩固
B
D
A
O
E
C
变式1 连接DB、AC，若 DB＝DC，∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
√
√
解：相等.
理由如下：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠DAB+∠DCB=180°
又∵∠DAB+∠DAE=180°
∴∠DCB= ∠DAE
∵DB＝DC
∴∠DCB= ∠DBC
又∵ ∠DAC= ∠DBC = ∠DCB
∴∠DAE=∠DAC
新知巩固
变式2 如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，连接DB、DC.
(1)求证：△DBC是等腰三角形；
B
D
A
O
E
C
(1)证明：∵AD是∠EAC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAC.
∵ ????????＝?????????，
∴∠DBC=∠DAC，
∵ ∠DCB=∠DAE(已证)，
∴∠DBC=∠DCB.
∴ DB=DC.
∴ △DBC是等腰三角形.
?
新知巩固
(2) F为BC上一点，请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由.
B
D
A
O
E
C
F
(2)解：若F为BC中点，则DF经过圆心.
∵△DBC是等腰三角形， F为BC中点,
∴DF是BC边上的中垂线.
∵圆内接三角形圆心是三边中垂线的交点，
∴DF必过圆心.
课堂小结
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补.
推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
当堂检测
1.下列关于圆内接四边形的叙述正确的有( )
①圆内接四边形的任意一个外角都等于它的内对角；
②圆内接四边形对角相等；
③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；
④在圆内部的四边形叫做圆内接四边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
当堂检测
2.有下列命题：
① 圆内接平行四边形是矩形；
② 圆内接矩形是正方形；
③ 圆内接菱形是正方形.
其中，真命题是( )
D
A. ①②
B. ①②③
C. ②③
D. ①③
当堂检测
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝(　　)
A．110° B．120° C．135° D．140°
B
D
A
O
C
D
当堂检测
4.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为( )
A. 138°
B. 121°
C. 118°
D. 112°
C
B
D
A
O
C
当堂检测
5. 在四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为2:3:4:3，则∠C的外角等于( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°
A
6.在⊙O中，弦AB等于半径，则AB所对的圆周角的度数为____________.
30°或150°
注意两种情况.
当堂检测
7.如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝4∶3∶5，则∠D的度数是?　120?.
120°　
A
C
D
O
B
当堂检测
A
C
D
O
B
8.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是?　AB∥CD　?.?
AB∥CD　
当堂检测
9.如图，四边形ABCD内接于☉O，∠ABC＝60°，对角线DB平分∠ADC.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
解：(1) ∵ 四边形ABCD内接于☉O，
∴ ∠ABC＋∠ADC＝180°.
∵ ∠ABC＝60°，
∴ ∠ADC＝120°.
∵ DB平分∠ADC，
∴ ∠ADB＝∠CDB＝60°.
∵ ????????＝????????，????????＝????????，
∴ ∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°
.∴ ∠ABC＝∠ACB＝∠BAC.
∴ △ABC是等边三角形
?
C
B
A
O
D
当堂检测
(2)若AD＝2，DC＝3，求△ABC的周长.
解：(2) 如图，过点A作AM⊥CD，交CD的延长线于点M.
∴ ∠AMD＝90°.
∵ ∠ADC＝120°，∠MDC＝180°，
∴ ∠ADM＝60°.
∴ 在Rt△AMD中，∠DAM＝30°.
∴ 易得DM＝????????AD＝1.
∴ AM＝?????????????????????????＝????.
∵ CD＝3，
∴ CM＝CD＋DM＝4.
∴ 在Rt△AMC中， AC＝????????????+????????????＝????????.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB＝AC＝BC＝????????.
∴ △ABC的周长为3????????
?
C
B
A
O
D
M
┐
当堂检测
10. 如图，☉O1和☉O2都经过A、B两点.经过点A的直线CD交☉O1于点C，交☉O2于点D；经过点B的直线EF交☉O1于点E，交☉O2于点F.试判断CE与DF是否平行，并说明理由.
C
D
A
B
E
O1
F
O2
解：CE与DF平行　
理由：连接AB.
∵ 四边形ABEC是☉O1的内接四边形，
∴ ∠BAC＋∠E＝180°.
∵ ∠BAC＋∠BAD＝180°，
∴ ∠BAD＝∠E.
∵ 四边形ABFD是☉O2的内接四边形，
∴ ∠BAD＋∠F＝180°.
∴ ∠E＋∠F＝180°.
∴ CE∥DF.
当堂检测
11.如图，四边形ABCD内接于☉O，AD是☉O的直径，C是????????的中点，AB和DC的延长线交☉O外一点E.求证：BC＝EC.
?
C
B
E
O
D
1
2
A
解：如图，连接AC.
∵AD是☉O的直径，
∴∠ACD＝∠ACE＝90°.
∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠D＋∠ABC＝180°.
∵∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
∵C是????????的中点，
∴∠1＝∠2.
又∵∠1＋∠E＝∠2＋∠D＝90°，
∴∠E＝∠D.
∴∠EBC＝∠E.∴BC＝EC
?
12．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.
(1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝__________；
当堂检测
90°
A
C
D
O
B
E
F
12．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.
(2)当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；
当堂检测
A
C
D
O
B
E
F
55°
30°
解：(2)∵∠A＝55°，∠E＝30°，
∴∠ABE＝180°－∠A－∠E＝95°，
∴∠ADF＝180°－∠ABE＝85°，
∴∠F＝180°－∠ADF－∠A＝40°.
12．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
当堂检测
解：(3)∵∠ADC＝180°－∠A－∠F，
∠ABC＝180°－∠A－∠E，
∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴180°－∠A－∠F＋180°－∠A－∠E＝180°，
∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°，
∴∠A＝90°－∠????+∠????????＝90°－ ????+????????.
?
A
C
D
O
B
E
F