(共19张PPT)
第11.3.2多边形的内角和
人教版数学八年级上册
1.了解并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.理解多边形内角和与外角和公式的推导过程.
3.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决实际问题.
学习目标
180°
360°
360°
思考:我们学过的三角形、正方形、长方形的内角和是多少呢?
任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢?你可以推理证明吗?
情境引入
A
C
B
D
解:连接AC
∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB,
∴在△ACD中,∠D+∠DAC+∠DCA=180°,
在△ACB中,∠B+∠BAC+∠BCA=180°.
∵∠D+∠DAC+∠DCA+∠B+∠BAC+∠BCA=360°,
∴∠D+∠DAB+∠B+∠BCD=360°.
∴四边形ABCD的内角和为360°.
如图,在四边形ABCD中,连接对角线AC,求四边形ABCD的内角和.
互动新授
你能根据刚才的推理过程,计算出五边形、六边形的内角和吗?
类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线),完成下列表格.
你能发现n边形的内角和与边数的关系吗?
多边形的边数
分成的三角形个数
多边形的内角和
2 2 180°
3 3 180°
...
...
...
4
5
4 4 180°
6
n 2
n
(n 2) 180°
n边形的内角和等于:
(n 2) 180°
你能根据表中的信息得出什么结论吗?
互动新授
例 1.如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4 - 2)×180°= 360°,
∵∠A+∠C = 180°,
∴∠B+∠D = 360°-(∠A+∠C)= 180°.
这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.
A
C
D
B
典例精析
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和,六边形的外角和等于多少?
思考:
(1)一个外角+相邻的内角 .
(2)6个外角+它们相邻的内角 .
(3)六边形的外角和 - .
180°
6 180°
六个平角的和
六边形的内角和
典例精析
A
B
C
D
E
F
1
2
3
5
4
6
例2:如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和,六边形的外角和等于多少?
解:六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角,所得总和等于6 180°.
这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和,即外角和等于
6 180° (6 2) 180° 360°
那n边形的外角和是多少呢?
典例精析
如图,从多边形的一个顶点A 出发,沿多边形的各边走过各顶点,再回到点A,然后转向出发的方向.在行程中转过的各个角的和,
就是多边形的外角和.由于走了一周,所转过的各个角的和等于一个周角,所以多边形外角和等于360°.
多边形的外角和等于360°
结论:
互动新授
1.求下列图形中x的值:
解:(1) x+x+140+90=360,解得 x=65.
(2) 90+120+150+2x+x=(5-2)×180,解得 x=60.
(3) 75+120+80+(180-x)=360,解得 x=95.
小试牛刀
3.正十二边形的每个外角等于_______.
30°
2.一个多边形的内角和是1260°,这个多边形的边数是_______.
9
4.若一个正多边形的每个内角为150°,则这个正多边形的
边数为______.
12
5.若一个多边形的每个外角都等于45°,则它的内角和等于____.
1080°
小试牛刀
1.如图,∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角,
若∠A=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4=________.
2.如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1=_____
300°
30°
第1题
第2题
课堂检测
3.已知一个多边形,它的内角和等于外角和的2倍,求这个多边形的边数.
解:设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n-2) 180°,
外角和等于360°,
∴(n-2) 180°=2×360°.
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
课堂检测
拓展训练
1.如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
解:连接BE,构造出四边形ABEF.
∵∠1=∠C+∠D,∠1=∠CBE+∠DEB,
∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB,
∴∠A+∠ABC+∠C+D+∠DEF+∠F
=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F
=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°.
2.有一张长方形的木板面,现在锯掉它的一个角,剩下残余木板面所有的内角和是多少
解:①(3-2)×180°=180°
②(4-2)×180°=360°
③(5-2)×180°=540°
拓展训练
多边形的
内角和
多边形的外角和等于360°(与边数无关)
内角和计算公式
外角和
(n-2)×180°(n为≥3的整数)
课堂小结
课后作业
1.当一个多边形的边数增加时,其外角和( )
A.增加 B.减少 C.不变 D.不能确定
2.某学生在计算四个多边形的内角和时,得到下列四个答案,其中错误的是( )
A.180 B.540 C.1080 D.1900
C
D
课后作业
3.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是多少?
解:设这个多边形的边数为n,
根据题意,得(n-2)×180°=3×360°-180°,
解得n=7.
答:这个多边形的边数为7.
谢谢聆听