云南省保山市部分校2022-2023学年高二下学期期末测试数学试题（含解析）

秘密★启用前【考试时间：6月28日15：00~17：00】
保山市部分校2022-2023学年高二下学期期末测试
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A.4 B. C. D.
3.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，据统计得出了昼夜温差与实验室种子浸泡后的发芽数（颗）之间的线性回归方程：，且对应数据如表：
温差 1 2 3 4 5
发芽数颗 3 7 8 10 12
如果昼夜温差为时，那么种子的发芽数大约是（ ）
A.21颗 B.23颗 C.25颗 D.27颗
4.函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图1所示的形状，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…则第八层球的个数为（ ）
A.15 B.21 C.28 D.36
6.已知函数，则将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，图象关于原点对称，则（ ）
A. B. C. D.
7.学生到工厂劳动实践，利用打印机技术制作模型.设模型为长方体挖去四棱锥所得的几何体（如图），其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，打印所用的原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量是（ ）
A. B. C. D.
8.过抛物线的焦点且倾斜角为锐角的直线与交于两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ）
A. B. C.1 D.2
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知向量满足，设的夹角为，则（ ）
A. B.
C. D.
10.近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况，举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效地训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如图所示频率分布直方图，则（ ）
A.
B.在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有70人
C.估计全校学生体能测试成绩的平均数为77
D.估计全校学生体能测试成绩的分位数为84
11.已知，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数的导函数为，则（ ）
A.函数的极小值为
B.
C.函数的单调递减区间为
D.若函数有两个不同的零点，则
第II卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.古希腊毕达哥拉斯学派在公元前6世纪研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，则__________.
14.已知的展开式的所有项的系数的和为64，则展开式中含的项的系数为__________.（用数字作答）
15.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线过和，且与圆交于两点，若，则椭圆的离心率为__________.
16.已知等边的边长为2，将其绕着边旋转角度，使点旋转到位置.记四面体的内切球半径和外接球半径依次为，当四面体的表面积最大时，__________；__________（第一空2分，第二空3分）
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知在锐角中，角所对应的边分别为.在下列三个条件：
①，且；
②；
③中任选一个，回答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
（1）求角；
（2）若，求内切圆的半径.
18.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，已知.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）若数列满足求数列的前20项的和.
19.（本小题满分12分）
在如图所示的圆锥中，为顶点，在底面圆周上取三点，使得，在母线上取一点，过作一个平行于底面的平面，分别交于点，且.
（1）求证：平面平面；
（2）已知三棱锥的体积为2，求平面与平面所夹锐角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的推位，设表示第天的平均气温，表示第天参与活动的人数，，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：.
（1）根据所给数据，用相关系数（精确到0.01）判断是否可用线性同归模型拟合与的关系；
（2）现有两个家庭参与套圈，家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费30元，每个小白兔价值60元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？
附：相关系数.
21.（本小题满分12分）
设双曲线的焦距为6，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知的右焦点为是直线上一点，直线交双曲线于两点（在第一象限），过点作直线的平行线与直线交于点，与轴交于点，证明：为线段的中点.
22.（本小题满分12分）
设函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若且，证明：.
保山市部分校2022-2023学年高二下学期期末测试
数学
参考答案
第I卷（选择题，共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D D C C A
【解析】
1.集合，则，故选.
2.，所以，所以，故选B.
3.，则样本点的中心的坐标为，代入，得.可得，取，得，
如果昼夜温差为时，那么种子的发芽数大约是23颗，故选B.
4.因为定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除，又时，，所以，所以，故排除C，故选D.
5.根据题意，设各层球的个数构成数列，由题意可知，，，则有，
故第八层球的个数，故选D.
6.由题意可知，将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，所以，因为图象关于原点对称，所以，即，，因为，所以，故选.
7.由题意，该模型的体积.D打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为，故选C.
8.抛物线的焦点为，准线方程为，
如图，过作准线的垂线于，过作准线的垂线于，
，所以，
可知与轴的正方向的夹角为，则的斜率为，故选A.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ABC AD BCD ABD
【解析】
9.因为向量，满足两式相加可得，所以，得，所以，则，故A正确；因为，故，所以，故正确；设的夹角为，则，因为，所以，故C正确；因为，故与不垂直，故D错误，故选ABC.
10.对于，根据频率和等于1得，解得，故A正确；对于，成绩在区间[80,100]内的学生人数约为，故B错误；对于，学生体能测试成绩的平均数约为，故C错误；对于D，，所以这组数据的分位数的估计值落在区间内，又因为，故学生体能测试成绩的分位数为84，故D正确，故选AD.
11.由，故.对于A，当时，故A错误；对于B，由在定义域上递减，而，故，故B正确；对于，由，而在定义域上递增，故，故C正确；对于D，因为，则，仅当，即时等号成立，所以，只需，而，仅当时等号成立，综上，，仅当时等号成立，故D正确，故选BCD.
12.由，得，当时，，B正确；当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此函数在处取得极小值，递减区间为，A正确，C错误；函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，，函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点，所以函数有两个不同的零点时，正确，故选.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 15 ；
【解析】
13.由于，所以.
14.令得，，解得，则的展开式的通项为，分别取与，得，所以的展开式中含有的项的系数为，含有的项的系数为，所以展开式中项的系数为.
15.如图，作，垂足为，因为，
，所以，
，易知，
又，所以，即，
所以，所以.
16.易得的面积为定值，又，
显然当时，此时面积最大，
即四面体的表面积最大，此时；当四面体的表面积最大时，
易知四面体的表面积最大值为，
如图，设的中点为，易知，
即为四面体的外接球球心，四面体的外接球半径，
且，，由平面，，可得平面四面体的体积为，又，解得.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）选择条件①，
因为，且，
所以，即，
所以，
由为锐角三角形可知，则，
故，可得.
选择条件②，
因为，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得，
在三角形中，可知，
则，即，
因为三角形中，可知，故.
选择条件③，
因为，
所以，
即，
由正弦定理可得，
根据余弦定理可得，
由中，，故.
（2）因为，
所以，
由余弦定理可得
，
解得，
设内切圆的半径为，
因为，
所以，即内切圆的半径为.
18.（本小题满分12分）
（1）证明：数列的前项和为，已知，①，
当时，解得，
故，②，
②-①得：，
即，
故，
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得：，
整理得.
数列满足
故且，
当为偶数时，，
整理得，
故
19.（本小题满分12分）
（1）证明：由题意可知为一个三棱锥，且，
，
分别为的中点，且.
取的中点，连接，则.
，
.
，则，
故，
即.
平面，
平面.
又平面，故平面平面.
（2）解：，
.
而，
，
解得.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的一个法向量为，
不妨设，则.
同理设平面的一个法向量为，
不妨设，则.
，
平面与平面夹角的余弦值为.
20.（本小题满分12分）
解：（1），
则根据相关系数，可用线性同归模型拟合与的关系.
（2）设家庭套住小白兔的人数为，则，
，
设家庭的盈利为，
则，
设家庭套住小白兔的人数为，
的可能取值分别为，
则，
，
，
，
设家庭的盈利为，
，
家庭损失较大.
21.（本小题满分12分）
（1）解：因为焦距为6，所以，
将点代入的方程，得，
又因为，解得，
所以双曲线方程为.
（2）证明：是直线上一点，的横坐标为，
设直线的方程为，则，
联立方程组得，
设，
则，且，
直线的方程为，①
又直线的方程为，②，
由①②消去得，
在中，
两式相除，得，则，
则，
，
故为线段的中点.
22.（本小题满分12分）
（1）解：因为，则，
当，则在上单调递增，
而，所以；
当，则当，
即在上单调递减，
，不符合题意，
综上可得的取值范围为.
（2）证明：因为，
所以要证明，只需证明，
只需证，即证，
设，所以，
令，因为，
所以在上单调递增，，
所以，
所以在上单调递增，
令，
所以在上单调递增，
所以，
即成立，
所以，即，
所以成立.