九年级数学上册试题 4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习-北师大版（含答案）

4.5 相似三角形判定定理的证明
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
2．如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点、.对于下列结论：
①；②；③.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①② D．②③
3．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）
A．16 B．18 C．20 D．24
4．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，，，于点H，且DH与AC交于G，则OG长度为　　
A． B． C． D．
8．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（　　）
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD=60°，AD=AB，连接OE，下列结论：①S ABCD=AD BD；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④S△ADE=5S△OFE，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①②③④⑤
12．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为______．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC＝_____．
15．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBO的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为________.
16．如图，平面直角坐标系中O是原点， OABC的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：
①F是OA的中点；② △OFD与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是_______．（填写所有正确结论的序号）
17．如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为__．
18．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于
19．如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？
20．如图，点为外一点，与边的交点为，，，，要使，且点，的对应点为，，那么线段的长应等于____．
21．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为__________．
22．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM=________时，△ADE与△MNC相似.
23．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为___________
24．如图，过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延长线于点F．在AF上取点M，使得AM=AF，连接CM并延长交直线DE于点H．若AC=2，△AMH的面积是，则的值是_______．
三、解答题
25．如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF
求证：四边形AFCD是平行四边形．
若，，，求AB的长．
26．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
28．如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；
（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
答案
一、单选题
C．A．B．C．B．D．B.C．B．B．D.C．
二、填空题
13．6﹣2
14．3：1
15．10
16．①③
17．4．
18．1：3．
19．0.8或2
20．
21．2
22．或
23．3-
24．．
三、解答题
25．是AC的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，即，
四边形AFCD是平行四边形；
，
∽，
，即，
解得：，
四边形AFCD是平行四边形，
，
．
26．（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴==，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，
∴EH=2DH=2，
∴HM==2，
∴DM=CN=NK==1，
在Rt△DCK中，DK===2，
∴△PCD的周长的最小值为10+2．
27．解：（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
28．（1）证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°．
∴∠ACP＝∠PDB＝120°．
∵∠APB＝120°，
∴∠A+∠B＝60°．
∵∠PDB＝120°，
∴∠DPB+∠B＝60°．
∴∠A＝∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
（2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC＝PD＝CD，
∴，
∴CD2＝AC BD．
∵AC＝4，BD＝9，
∴CD＝6．