九年级数学上册试题 《特殊的平行四边形》--正方形的动点问题-北师大版（含答案）

《特殊的平行四边形》--正方形的动点问题
一、单选题
1．如图，在正方形中，是边上的动点，于点于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为8的正方形中，、分别是边、上的动点，且，为中点，是边上的一个动点，则的最小值是（ ）
A．10 B． C． D．
3．如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.
5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P是边BC上的动点，点Q是对角线AC上的动点（包括端点A、C），则EP＋PQ的最小值是_________．
6．如图，已知正方形ABCD的边长是1，点E是CD边上的中点.P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，的面积为因变量y，则当时，x的值等于_________．
7．已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y＝时，x的值等于_____________．
8．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形．点是上一点，且，连接，，则________度，运动变化过程中，的最小值为________．
9．如图，在正方形中，，点为边上一个动点（不与，重合），过点，在正方形内部作正方形，交边于点，连接，，当为等腰三角形时，__________．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是_____．
11．如图，正方形的对角线上有一动点，作于点，连接，．若，，则的长为_________．
12．如图，正方形的边长是9，点是边上的一个动点，点是边上一点，，连接，把正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在线段上时，线段的长为__________．
三、解答题
13．（1）如图1，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，求证：．
　　　
（2）如图2，在正方形中，如果点、分别是、延长线上的动点，且，则、、之间数量关系是什么？请写出证明过程．
（3）如图1，若正方形的边长为6，，求的长．
14．如图，已知正方形的边长是，为的中点，为正方形边上的一个动点，动点从出发沿运动，最终到达点，若点经过的路程，的面积记为，问当等于何值时，的值等于？
15．如图，正方形中，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边向正方形
外作正方形，连接，连接并延长交于．
求证：．
若正方形的边长为，试问当点运动到什么位置时，垂直平分？
16.如图，已知中，，，点为边上一动点，四边形是正方形，连接，正方形对角线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．
17．已知：正方形的对角线交于点，是线段上的一动点，过点作交，交于．
（1）若动点在线段上（不含端点），如图（1），求证：；
（2）若动点在线段的延长线上，如图（2），试判断的形状，并说明理由．
18．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．
（2）如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF、BE、DF之间数量关系是什么？请写出证明过程．
（3）如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．
19．如图所示，，分别是正方形的边，上的两个动点，且，交于点，，连.求证：.
20．已知，如图所示，正方形的边长为1，为边上的一个动点（点与、不重合），以为一边向正方形外作正方形，连接交的延长线于点.
（1）求证：①≌△. ②.
（2）当平分时，求的长.
21．在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形．
（1）当时，正方形的周长=_______（用含的代数式表示）；
（2）连接．试说明：三角形的面积等于正方形面积的一半．
（3）已知，且点是线段上的动点，点是线段上的动点，当点和点在移动过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
22．如图，是正方形的边上的两个动点，满足相交于点与相交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的最小值．
23．已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别是OB、OC上的动点，
（1）如果动点E、F满足BE=CF（如图）：
①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）；
②证明：AE⊥BF；
（2）如果动点E、F满足BE=OF（如图），问当AE⊥BF时，点E在什么位置，并证明你的结论．
24．在正方形中，点是边的中点，点是对角线上的动点，连接，过点作交正方形的边于点；
（1）当点在边上时，①判断与的数量关系；
②当时，判断点的位置；
（2）若正方形的边长为2，请直接写出点在边上时，的取值范围.
答案
一、单选题
C.B．A．
二、填空题
4．
5．
6．或或
7．或
8．45°
9．或
10．
11．或
12．2
三、解答题
13．
（1）证明：把绕点顺时针旋转90°至，
如图1，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）结论：；
证明：如图2，将绕点顺时针旋转90°至，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可知，
∵正方形的边长为6，
∴，
∴．
∴，
∴，
设，则，，
在中，∵，
∴，
解得：．
∴，
∴．
14．解：由题意可知：当动点从运动到时，，
当动点从运动到时，，由于，
因此满足题意的点的位置只有两种情况
①当时，即点在边上运动时，如图，此时，
，当时，解得：
②当时，即点在边上运动，如图，此时折线，，
当时，解得：
综上所述，当或时，的面积为
15．（1）证明：∵四边形、都是正方形，
∴，，
∴
∴连接
如果垂直平分，则有
∵，
∴
∴
∴
即当时，垂直平分．
16．（1）证明：四边形是正方形
，
在和中
故答案为
（2），，
在中
由（1）知，
，
连接
在中
四边形是正方形
故答案为
（3）如图所示，连接FG
四边形是正方形
，
由（1）知，
，，
在和中
设，则
由（2）知
在中
，
的值为或．
故答案为或
17．
（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∴∠OBE+∠OEG＝90°，
∵于点，
∴，
∴∠OAF+∠OEG＝90°，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，
∴∠OBE+∠OEG＝90°，
∵于点，
∴，
∴∠OAF+∠OEG＝90°，
∴，
在和中，
∴
∴；
又∵，
∴是等腰直角三角形．
18．
（1）把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠DAG+∠FAD＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝DF+BE；
（2）结论：EF＝DF﹣BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，
∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，
∴∠FAM＝45°＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△EAF≌△MAF（SAS），
∴EF＝FM＝DF﹣DM＝DF﹣BE；
（3）如图，
由（1）可得AE＝AG＝，EF＝FG，BE＝DG，
∵DG＝，
∴BE＝DG＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝3，
∵EF2＝EC2+CF2，
∴（DF+3）2＝9+（6﹣DF）2，
∴DF＝2，
∴AF＝＝＝2．
19．证明: ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAD=∠ADF=90°，
又∵AE=DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF.
∴∠DAF+∠BAH=∠ABE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AF⊥BE.
20．
（1）①∵四边形与四边形均为正方形，
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=900，
∴≌△
②∵≌△,
∴∠BGC=∠DEC,
∵∠BGC+∠CBG=900，
∴∠DEC+∠CGB=900
∴∠BHE=900
即
(2) 连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴AB=AD=1，∠A=900，
∴
∵BH平分DE，BH⊥DE，
∴DH=EH,∠BHD=∠BHE,
又∵BH=BH
∴△BHD≌△BHE,
∴BE=BD=,
∴CG=CE=BE-BC=.
21．
（1）∵四边形BCFH是正方形，
∴BC=BH=FH=CF，
∴当BC=m时，正方形BCFH的周长为4m，
故答案为：4m；
（2）如图1，连接AH，
在△BHA和△BCE中，
∴△BHA≌△BCE（SAS），
∵AF∥BH，
∴BH边上的高=正方形BCFH的边
∴△BHA的面积等于正方形BCFH的面积．
∴△AEC的面积等于正方形BCFH的面积；
（3）△APQ的周长存在最小值．
如图2，作点A关于DE的对称点A
∴AP=A′P
∵点A关于BC的对称点F，
∴AQ=QF，
∴△APQ的周长的最小值为A′F，
过A′作A′M⊥FA交FA的延长线于M，
∵，
∴∠BAC=45°，AB=2
∴∠A′AM=45°, AA′=4，
∴△AA′M为等腰直角三角形，，
∴MA=MA′=4，
∴MF=8，
∴A′F==4，
∴△APQ的周长的最小值为4．
22．
（1）证明：是正方形，
又
（2）取中点，连接
由（1），得
在中，由勾股定理，得
的最小值．
23．
（1）①△ABE≌△BCF, △AOE≌△BOF, △ABF≌△DEA
②证明：如图，延长AE 交BF 于点M，
∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE．
∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴∠CBF＝∠BAE
∵∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°，
∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°．
∴∠AMB＝90°．∴AE⊥BF．
（2）点E 是OB 的中点．证明如下：
∵ABCD 是正方形，∴AB＝BC, ∠BCF＝∠ABE．
∵AE⊥BF，∴∠AMB＝90°．∴∠ABE＋∠EBM＋∠BAE ＝90°．
∴∠ABE＋∠EBM＋∠CBF＝90°．∴∠CBF＝∠BAE．∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF．
∵BE＝OF，∴CF＝OF．
又∵OB＝OC，∴BE=OE．∴点E是OB 的中点．
24．
解：（1）．理由是：
过点作于点，于点
在正方形中，
矩形为正方形
又
②点位于正方形两条对角线的交点处（或中点处）
如图，是的中位线，
又，
此时，是中点，
且，
，
（2）当点F与 B重合时，M在AC,BD交点处时，此时AM最小， AM=AC= ; 当点F与点C重合时，M在AC,BD交点到点C的中点处，此时AM最大， AM= ．
故答案为