九年级数学上册试题 《特殊的平行四边形》--正方形的折叠问题-北师大版（含答案）

《特殊的平行四边形》--正方形的折叠问题
一、单选题
1．如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
3．如图，在正方形中，为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数为（　　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形，沿直线将折起，使点A落在对角线上的处，连结，则（ ）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
5．如图，在正方形纸片上，是上一点（不与点重合），将纸片沿折叠，使点落在点处，延长交于点，则（ ）
A． B． C． D．不是定值
6．如图，正方形中，点E为中点，连结，将沿翻折得到，连结并延长交于点G，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正方形中，是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接，，如下4个结论：；②为中点；③；④．其中正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
9．如图，折叠矩形纸片ABCD，先把△ABF沿AF翻折，点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上，然后将纸片展开铺平，把四边形NCDM翻折，点C恰好落在AE的中点G处，折痕为MN，则（　　）
A．当点N与点F重合时，∠AFM＝90°
B．当GN∥AF时，∠HMG＝45°
C．若AB＝2，AD＝3，则M恰好为DE的中点
D．△GMN的面积有可能为矩形ABCD面积的一半
10．如图．已知正方形的边长为．，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下个结论；①；②；③的周长是．其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知在正方形ABCD中，E是BC上一点，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于点G，连接DG．现有如下4个结论：①AG＝GF；②AG与EC一定不相等；③；④的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连结、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB=60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B'处，则点B'的坐标为（　　　）
A．（2，） B．（，） C．（2，） D．（，）
14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将沿AE对折至，延长交BC于点G，连接则BG的长（ ）
A．1 B．2 C． D．3
二、填空题
15．在矩形纸片ABCD中，，点P，Q分别是在边AB，CD上，，将和分别沿PG，EQ翻折，点D，B的对应点分别是，，若四边形是有一边平行于AB的菱形且，则AP的长是____________．
16．如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=________度．
17．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度．
18．如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______.
19．如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G，连接AG、则的面积是______．
20．如图，在正方形纸片 ABCD 中， E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段AE 上的点 G 处，折痕为 AF ．若 AD＝4 cm，则 CF 的长为___________cm ．
21．如图，四边形是一张正方形纸片，其面积为．分别在边，，，上顺次截取，连接，，，．分别以，，，为轴将纸片向内翻折，得到四边形，若四边形的面积为，则__________．
22．如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点处，点D的对应点为点，若，则DM=__________.
23．如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为_________．
24．如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长度是_____．
25．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB＇E，AB＇与CD边交于点F，则B＇F的长度为_______
26．如图，在正方形ABCD中，BE＝EC，将正方形ABCD的边CD沿DE折叠到DF，连接EF、FC、FB，若△DFC的面积为16，则△BEF的面积为_____．
27．如图，正方形ABCD中，AD＝+2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝_____．
28．如图，正方形 中，，是 的中点．将 沿 对折至 ， 延长 交 于点 ，则 的长是____．
29．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下四个结论：①∠EAG＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中结论正确的序号是_____．
30．如图，正方形的边长是16，点在边上，，点是边上不与点、重合的一个动点，把沿折叠，点落在处，若恰为等腰三角形，则的长为______．
三、解答题
31．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求∠EAG的度数；
（3）求BG的长．
32．如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处，
（1）当AB=BC时，求∠GEF的度数；
（2）若AB=，BC=2，求EF的长.
33．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
（1）求证：①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC；
（2）求△FGC的面积.
34．如图，正方形ABCD中，，点E在CD上，且，将沿AE对折至，延长EF交BC于点G，连接AG、CF．
求证：≌；
求BG的长；
求的面积．
答案
一、单选题
B．C．C．C．B.C．D．A．B．D.C.C．C.B．
二、填空题
15．或3
16．67.5．
17．30．
18．
19．
20．
21．4
22．
23．2．
24．
25．
26．4
27．1或
28．4
29．①③．
30．16或
三、解答题
31．
（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
又∵AG＝AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴∠BAG＝∠FAG，
∴∠FAG＝∠BAF，
由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，
∴∠EAF＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；
（3）∵E是CD的中点，
∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，
设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，
∵GE2＝CG2＋CE2
∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，
解得：x＝2，
∴BG＝2．
32．
解:（1）当AB=BC时，矩形ABCD为正方形，
由折叠得，AB=BG，CD=CG；∠EGB=∠A=90°，
∵AB=BC=CD，
∴BG=BC=GC，
∴∠BGC=60°，
∴∠ABG=30°，
∴∠AEG=150°，
∴∠GEF=30°；
（2）在矩形ABCD中，AB=CD=，
由折叠得，AB=BG，CD=CG，AE=EG，DF=FG，
∴BG=GC=，
又∵BC=2，
得△BGC为等腰直角三角形，且∠GBC=45°，
与（1）同理可得∠FEG=45°，∠EFG=45°，△EGF为等腰直角三角形 ，
设EG=x，则AE=FD=x，EF=，得，
（2+）x=2 ，得x=，
∴EF= .
33．
（1）证明：
①在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝∠C＝90
又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG＝∠AFE＝∠D＝90 ，AF＝AD，
即有∠B＝∠AFG＝90 ，AB＝AF，AG＝AG，
∴△ABG≌△AFG
②∵AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，∴DE＝FE＝2，CE＝4
不妨设BG＝FG＝x，（x＞0），则CG＝6－x，EG＝2＋x，
在Rt△CEG中，(2＋x)2＝42＋(6－x)2
解得x＝3，于是BG＝GC＝3
（2）∵,∴
∴S△FGC=S△EGC=
34．是由折叠得到，
，，
又四边形ABCD是正方形，
，，
，，
在和中，
≌，
正方形ABCD中，，，
，
设，则．
在直角中，根据勾股定理，得，
解得．
；
由知，，，
由知，≌，
，
，
由知，，，
，
．