九年级数学上册试题 《特殊平行四边形》--菱形最小值问题-北师大版（含答案）

《特殊平行四边形》--菱形最小值问题
一、单选题
1．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，在菱形中，点是对角线上一点，是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．3 D．
3．如图，在菱形中，，，是边的中点，分别是上的动点，连接，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
4．如图，已知菱形，，，E为中点，P为对角线上一点，则的最小值等于( )
A． B． C． D．
5．在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、G共线，点C在BE上，∠DAB＝60°，AG＝8，点M，N分别是AC和EG的中点，则MN的最小值等于（　　）
A．2 B．4 C．2 D．6
6．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足，则PC+PD的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
7．如图，在菱形中，对角线，，点分别是的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图四边形ABCD是菱形，且，是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD的边长为1,则的最小值1;
②；
③；④连接AN，则；
⑤当的最小值为时，菱形ABCD的边长为2.
A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
9．如图，在菱形中，，，点，，分别是线段，，上的任意一点，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．5 B．10 C． D．8
12．如图，菱形的边长为，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足S△PCD=，则PC+PD的最小值是_____．
14．如图，菱形的边长为，且，E是中点，P点在上，则的最小值为_______．
15．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AC＝12，P是菱形的对角线AC上的一个动点，M，N分别是菱形ABCD的边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为_____．
16．如图，在菱形中， ， ，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是__________．
17．如图，在菱形中，已知，，把沿方向移动得到，连接、，则的最小值为______．
18．如图，在菱形中，，，点E，F分别是边，的中点，是上的动点，那么的最小值是_______.
19．如图，线段，点是线段上的一个动点，分别以和为边在线段的同侧构造菱形和菱形，且，是菱形的对角线交点、是菱形的对角线交点，连接，则线段的最小值为______．
20．如图，在菱形中，,,点,,分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为__________．
21．如图，P、G是菱形ABCD的边BC、DC的中点，K是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝6，则KP+KG的最小值是_____．
22．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
23．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分ABCD是一个菱形。菱形周长的最小值是_________，菱形周长最大值是_________.
24．如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是对角线上的动点，连接，，则的最小值______．
25．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点、分别是、上的两个动点，则的最小值是_________.
26．如图，菱形的边长为1, ．分别是上的动点，且,则的最小值为_______．
27．如图，在中，，点D、E、F分别在、、上，且四边形为菱形，则菱形的边长为_____；若点P是上一个动点，则的最小值为_____．
28．如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为________．
29．已知菱形中，，，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是_______．
30．如图，在菱形中，，，点P，M分别是边和对角线上的动点，则的最小值为_________．
31．在菱形中，，点是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值为_______．
32．菱形中，，，为的中点，点是对角线上一动点，连接，则的周长的最小值为_________．
33．在菱形ABCD中，∠C＝∠EDF＝60°，AB＝1，现将∠EDF绕点D任意旋转，分别交边AB、BC于点E、F（不与菱形的顶点重合），连接EF，则△BEF的周长最小值是_____.
34．如图，在菱形中，，点P为的中点，分别为线段上的任意一点，则的最小值为______．
35．如图，四边形是菱形，点分别在边上，其中是对角线上的动点，若的最小值为，则该菱形的面积为____________
36．如图，在菱形中，，.、分别是线段、上的任意一点，则的最小值为________.
三、解答题
37．如图，在菱形中，，，为上一动点，为中点．
（1）求菱形的面积；
（2）求的最小值．
38．在菱形中，，，点是线段上的一个动点．
（1）如图①，求的最小值．
（2）如图②，若也是边上的一个动点，且，求的最小值．
（3）如图③，若，则在菱形内部存在一点，使得点分别到点、点、边的距离之和最小．请你画出这样的点，并求出这个最小值．
39．在菱形中，，点是对角线上一动点，将线段绕点顺时针旋转120°到，连接，连接并延长，分别交于点．
（1）求证：；
（2）已知，若的最小值为，求菱形的面积．
40．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK＋QK的最小值．
41．如图，在菱形ABCD中，点 E、F分别为边 AD、CD上的动点(都与菱形的顶点不重合)，联结 EF、BE、BF ．
（1）若∠A＝60°，且 AE+CF＝AB，判断△BEF 的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，设菱形的边长为a，求△BEF面积的最小值．
42．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，求PB+PE的最小值是多少？
答案
一、单选题
A．A．D．B.A．B.C．C．B．D．A．D.
二、填空题
13．
14．
15．4
16．
17．
18．5
19．
20．
21．5
22．
23．8 17
24．
25．
26．
27．2
28．10
29．3
30．3
31．
32．
33．1 +
34．
35．36
36．
37．（1）；（2）．
三、解答题
37.解：（1）如答图，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵为中点．
∴，．
在中，．
∴．
（2）如答图，连接，
∵四边形为菱形，
∴点与点关于对称．
∴．
∴．
当点、、在一条线段上时，取值最小．
即时，取得最小值．
38．（）根据垂线段最短，当时，最小，最小为菱形的高．
（）连接、、，
在菱形中，可证为等边三角形，
的最小值即为的最小值．
（）如图，以为边在菱形外作等边，
作于，即为点分别到点、点、边的距离之和最小，
当于时，点即为所求．理由如下：
当绕点逆时针旋转得到，点在上，
此时，，，
要使点分别到点、点、边的距离之和最小，
则要即可．
作，
由题意可得：为的中点．
在中，，，
∴，，
∴．
39．（1）证明：四边形是菱形，且，
∴，
∴，
由旋转的性质得：
∴，
∴；
（2）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC,
∵，
∴，
∴，
∴当时，最小，此时最小，
∵MN=，
∴PC=2，
∵∠DBC=，∠BPC=90°，
∴BC=2PC=4，
∴菱形的面积
40．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，AD∥BC，
如图2，作点Q关于直线BD的对称点为，
∴，
∴，
∵在中，PK＋QK总是大于的，
∴如图3，当点K落在上时，PK＋QK的最小值为，
∴根据点到直线，垂线段最短可得：如图4，的最小值为，就是菱形ABCD的高，
过点A作AE⊥BC于点E，如图4所示，
∵AB＝2，
∴BE＝1，
∴在中，，
∴＝．
41．解：（1）△BEF的形状为等边三角形．证明如下：
如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB∥DC，AB=BC=CD=DA，∴∠ADC=120°，∴∠1=∠2=60°，∴∠ABD=∠1=∠A=60°，∴AB=BD，∠A=∠2．
∵AE+CF=AB，DF+CF=CD，∴AE=DF，∴△ABE≌△DBF，∴BE=BF，∠3=∠4．
又∵∠3+∠5=60°，∴∠4+∠5=60°，∴△BEF为等边三角形．
（2）如图，当BE⊥AD时，BE最小，此时，S△BEF最小．
设此时EF与BD交于点M，∴∠ABE=∠DBE=30°．
∵∠BEM=60°，∴∠BME=90°．
在Rt△ABE中，AB=a，∴．
在Rt△BEM中，∠BEM=60°，∴．
∴．
42．
解：如图，连接PD，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC与BD互相垂直平分，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时，取得最小值，最小值等于线段DE的长，
即的最小值为线段DE的长，
∵四边形ABCD是菱形，，，
∴，
∴是等边三角形，
又∵点E是AB的中点，
∴，
∴在中，，
故的最小值是3．