九年级数学上册试题 1.2矩形的性质与判定同步练习--北师大版（含答案）

1.2矩形的性质与判定
一、单选题
1．下列选项中，矩形具有的性质是(　　)
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
2．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A.∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
4．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（　　）
A．54° B．60° C．65° D．72°
5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
7．长方形的一边长为4，对角线与长方形另外一条边相差2，则长方形的面积为（　　）
A．8 B．4 C．6 D．12
8．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交于，连接，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，四边形是扇形的内接矩形，顶点P在弧上，且不与M，N重合，当P点在弧上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的长度（ ）
A.变大 B．变小 C．不变 D．不能确定
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA=3，OC=6，将△ABC沿对角线AC翻折，使点B落在点B′处，AB′与y轴交于点D，则点D的坐标为（ ）
A.（0，-） B．（0，-） C．（0，-） D．（0，-）
11．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=2，则EF的长度为（　　）
A． B．1 C． D．
二、填空题
13．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD定点A、B在y轴、x轴上，当B在x轴上运动时，A随之在y轴运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为__________．
14．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE的度数是_____．
15．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（4，3），∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为__________．
16．如图，在矩形中，对角线，相交于点，已知，，则的长为________cm．
17．如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2, 那么阴影部分的面积为_________.
18．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为28，图中阴影部分的面积为20，则其中一个长方形的周长为________．
19．已知如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，E是边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．则PF+PG的长为_____cm．
20．如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为____________________．
21．如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝_____cm．
22．如图，在中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝_____．
三、解答题
23．如图，在矩形中，，，的平分线交边于点，于点，连接，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
24．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=36°，求∠E的度数．
25．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3．
（1）在图①中，P是BC上一点，EF垂直平分AP，分别交AD、BC边于点E、F，求证：四边形AFPE是菱形；
（2）在图②中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形ABCD的边上，并直接标出菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）
26．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（，0），C（4，0）．
（1）如图①，则三角形ABC的面积为 ；
（2）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形的面积；
②点P（，0）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积．请直接写出点P坐标．
27．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．求证：AE＝CF．
答案
一、单选题
C.C．D.D．B．B．D.A．C．B．B.B.
二、填空题
13.＋1.
14．18°
15.（0，）
16.6cm．
35．2-2
17.2-2
18.22．
19.3．
20.（0，4），（0，0）．
21.5．
22.2．
三、解答题
23.解：（1）在矩形中，，
∵平分，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在等腰直角中，，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
，
∴．
24.如图所示，连接AC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD，AC=BD
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵AC=BD，BC=AD
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴∠ACB=∠ADB=36°
又∵CE=BD
∴CE=AC
∴∠E=∠CAE
∴∠ACB=2∠E=36°
∴∠E=18°
25.（1）证明：如图①
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵EF垂直平分AP，
∴AF＝PF，AE＝PE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
∴AF＝PF＝AE＝PE，
∴四边形AFPE是菱形；
（2）如图②，以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，连接各个点，所得的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形；
此时设菱形边长为x，
则可得12+（3-x）2=x2，
解得x=，
所以菱形的边长为．
26.（1）∵点A（0，2），B（，0），C（4，0），
∴OA=2，OB=2，OC=4，
∴S△ABC=×2×（2+4）=6；
（2）①∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，
∴点D的坐标为（5，4），
过D点向x轴作垂线，交x轴于点E，过D点向y轴作垂线，交y轴于点F，
∴；
②由①可得S△ACD=9，
∴S△PAO=×2|m|=9，
解得m=±9，
∴点P的坐标为（9，0）或（-9，0）．
27.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；